Numerische Mathematik: Spline–Interpolation

Question

Die Funktionen B_m : R → R, m ∈ N, seien durch die Rekursion

\( B_{m+1}(x)=\int \limits_{x-\frac{1}{2}}^{x+\frac{1}{2}}B_{m}(t)dt \)

mit der Initialisierung B₀(x) = 1 für |x| ≤ 1/2 und B₀(x) = 0 für |x| > 1/2 definiert.

1. Zeigen Sie, dass B_m nichtnegativ ist und B_m(x) = 0 für |x| > (m + 1)/2 gilt.

2. Zeigen Sie, dass mit der durch die Punkte x_i = i−(m+1)/2, i = 0, . . . , m+1 = n, definierten Zerlegung T_m+1 des Intervalls [(m+1)/2,(m+1)/2] für jedes m ∈ N eine Spline-Funktion B_m ∈ S_m,T_m+1 definiert wird.

3. Bestimmen Sie die Funktionen B₁ und B₂ explizit und skizzieren Sie diese.

Bitte um Hilfe und Erklärungen. :(

Answer 1

Wozu denn Hilfe? Du hast ja gar nichts gefragt. Wie weit kommst Du denn, was ist unklar?

Wenn man nicht weiß, worum es geht, probiert man Beispiele aus. Was hier sowieso gut ist, denn in 3. sollst Du das ja eh machen.

Also, fang mit 3. an, zeichne eine Zahlengerade und markiere die Bereiche, um die es geht (ergibt sich im Laufe der Rechnung). Beachte, es wird stets über ein Intervall der Länge 1 integriert.

Danach(!) zu 1.: Es ist ja was für alle m zu zeigen. Auf ein passendes Beweisverfahren kommst Du sicher selbst. Also, auf geht's. Und die Formalien sauber notieren um Verwirrung vorzubeugen.

Comments

Danke dir, ich versuche es mal!

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Hallo, ich versuche gerade auch diese aufgabe zu lösen und habe schopn probleme mit dem erstellen von B_1.

kann ich erstmal B₀ so integrieren, dass ∫B₀ = x für |x| ≥ \( \frac{1}{2} \), und = c sonst ist?

daraus würden sich ja für eingesetzte grenzen entweder

c - x +\( \frac{1}{2} \)  oder x + \( \frac{1}{2} \) + c ergeben oder? da ja immer ein x ±\( \frac{1}{2} \) |x| > \( \frac{1}{2} \) erfüllt oder?

Dankbar für jede hilfe

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Wenn Du auch hier einsteigen willst, dann beherzige auch die obigen Tipps. Erste Erkenntnis wäre: Es geht hier um bestimmte Integrale.

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Ja, genau da liegt mein Problem, ich habe ein paar probleme damit mir vorzustellen wie diese B_m aussehen. sind die Bm auf [- \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \)] immer \( \frac{1}{m!}\) \( x^{m} \) sind?

da würde ja B_m nicht > 0 seien, also kann das ja nicht sein oder? aber wie soll ich dieses integrall sonst bestimmen? ich glaube ich übersehe etwas oder?

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Zum 3.Mal: Tipp s.o.

Du sollst nicht Bm bestimmen. Was siehst Du an der Zahlengeraden, nachdem Du die Integrationsbereiche markiert hast?

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tut mir leid falls ich mich irgendwie doof anstelle, aber ich weiß nicht inwiefern mir diese zahlengrad helfen soll.

wenn ich da B0 einzeichnen möchte, dann ist das ja so wie in der aufgabe steht leicht gemacht, einfach 1 zwischen -\( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \). sonst 0.

wenn ich danach B1 und B2 bestimmen möchte, so wie im 3 tipp

Also, fang mit 3. an, zeichne eine Zahlengerade und markiere die Bereiche, um die es geht (ergibt sich im Laufe der Rechnung).

jetzt habe ich ja gesagt wie ich mein B1 bestimmen würde

c - x +\( \frac{1}{2} \)  oder x + \( \frac{1}{2} \) + c

aber das scheint ja falsch zu seien oder?

deswegen verstehe ich nicht ganz wie ich dieses bestimme, wenn das schon falsch ist denke ich, dass ich deinen tipp leider falsch verstehe.

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Fang an mit Fallunterscheidungen von links kommend, auf der Zahlengeraden (auf der Du B0 gezeichnet hast). Es geht jetzt um B1. Und solange Du ein c hast, hast Du noch nicht verstanden, dass es um bestimmte Integrale geht.

Rechne beispielhaft (x) für einige x aus und teile uns Deine Ergebnisse dazu mit.

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B₀ ist ja auf dem intervall [-\( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \)] = 1, also wenn ich jetzt integriere erhalte ich ja einfach wieder B₁ = 1 auf dem neuen intervall [x₀ + -\( \frac{1}{2} \), x0 +\( \frac{1}{2} \)] für einen festen wert x₀. stimmt die überlegung so? es ändert sich quasi nur das intervall wo B = 1 ist und sonnst überall nur = 0 wieder?

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Wieder ein Tipp, der nicht angenommen wurde...

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tut mir leid, aber ich verstehe nicht wie ich diesen tipp nutzen kann. merkt man ja glaube ich auch. könntest du vielleicht noch einen tipp geben, oder anders formulieren wie ich an die aufgabe ran gehen kann.

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Warum nicht? Denke Dir ein paar Zahlen x aus. Dann markiere in Deinem Bild die Integrationsbereiche und rechne B1(x) aus.

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soooo,

danke für die geduld. Ich hab mich jetzt nochmal ordentlich damit befasst. und wenn ich das ganze für verschiedene x durchführe komme ich auf die gleichung B₁(x) = 1 - |x| falls |x| < 1, und ansonsten B₁(x) = 0. stimmt das so? als grafik hätten wir dann ja ein dreieck mit den ekcpunkten (-1,0) (1,0) (0,1). B₁ so richtig?

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Ja, das stimmt.

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gut, dann könnte ich damit ja B₂ bestimmen. allerdings komme ich auf die komische funktion

\( -x^{2} \) + \( \frac{3}{4} \) für x ∈ [- \( \frac{1}{2} \) \( \frac{1}{2} \)],

\( \frac{1}{2} \) ( \(x^{2} \) -3x + \( \frac{9}{4} \)) für x ∈ (\( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{2} \)],

\( \frac{1}{2} \) ( \(x^{2} \) +3x + \( \frac{9}{4} \)) für x ∈ [- \( \frac{3}{2} \), - \( \frac{1}{2} \)),

erstmal fällt ja auf das sich das interwall immer um 1/2 vergrößert, auf dem B_m ≠ 0 ist, und auch das alle positiv sind. nur erkenne ich noch nicht wirklich eine regelmäßigkeit bei den B_m. gibts da eine? oder ist mein B₂ nur falsch

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Ich hab das nicht nachgerechnet, aber es sieht nicht falsch aus (weil: ist quadratisch, symmetrisch um 0 (lässt sich auch mit Betrag zusammenfassen), Intervalle stimmen).

Vermutlich gibt es eine allgemeine Formel, aber das ist nicht Teil der Aufgabe.

Mit Deiner jetztigen Erfahrung sollte es kein Problem sein Aufgabenteil 1. zu erledigen.

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Mit Deiner jetztigen Erfahrung sollte es kein Problem sein Aufgabenteil 1. zu erledigen.

hab ich gemacht.
vielen dank für deine hilfe und geduld, hat ja am anfang bisschen gedauert..