Bestimmen Sie jeweils die Mengen aller x ∈ R, die folgenden Ungleichungen genügen ||x−2|+2x|<5

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Mengen aller x ∈ R, die folgenden Ungleichungen genügen.

||x−2|+2x|<5

Ich weiß nicht so recht, wie die das mit dem „doppelbetrag“ funktioniert

Comments

Hallo,

guck mal hier:

https://www.desmos.com/calculator/tzw1avk0cx

---

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%7Cx-2%7C%2B2x%7C%3C5

Answer 1

1. Fall: x>=-2

|x-2+2x|<5

|3x-2| <5

a) x >= 2/3

3x-2 < 5

b) x<2/3

-3x+2 <5

x > -1

2. x<2

|-x+2+2x| <5

|x+2| <5

a) x>= -2

x+2 <5

x<3

b)

x<-2

-x-2 <5

x> -7

L = ...

Comments

1. Fallunterscheidung \(x \geq -2\)??

Answer 2

Fallunterscheidung 1. |x−2|+2x ≥ 0 und 2. |x−2|+2x < 0

Zu 1.: Fallunterscheidung 1.1. x-2 ≥ 0 und 1.2 x-2 < 0.

Comments

Also wäre quasi ||x-2|+2x| dasselbe wie

|x-2|+2x und |x-2| ?

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Nein, ||x-2|+2x| ist im Allgemeinen nicht das selbe wie |x-2|+2x und auch nicht das selbe wie |x-2|.

Answer 3

Hier ist eine simple Lösung mit Testwerten.

Innerhalb der Beträge sind nur (stückweise) lineare Funktionen. Der Graph besteht also aus Geradenstücken.

Die äußere Betragsfunktion ändert ihr Verhalten bei

$$|x-2| + 2x = 0 \Leftrightarrow |x-2| =-2x$$

$$ \stackrel{x\leq 0}{\Leftrightarrow}-(x-2)=-2x\Leftrightarrow x=-2$$

Testwert: \(\boxed{x=-2}\)

Die innere Betragsfunktion ändert ihr Verhalten bei

Testwert: \(\boxed{x=2}\)

Jetzt brauchen wir nur noch je einen Testwert links und rechts der bereit gefundenen Testwerte:

Testwert x	-3	-2	2	3
\(||x-2|+2x|\)	1	0	4	7

Jetzt kann man die Lösung der Ungleichung von der Tabelle sofort erschließen (verrate ich aber noch nicht, wie - mal selber probieren. Hinweis: Anstiege der Geradenstücke.)
Lösung: \(-7 < x < 2\frac 13 \)