Zeigen Sie: Sind f und g injektiv (bzw surjektiv), so ist auch g ◦ f injektiv (bzw surjektiv).

Question

Aufgabe:

Seien M, N, P Mengen sowie f : M → N und g : N → P Abbildungen.
a) Zeigen Sie: Sind f und g injektiv (bzw. surjektiv), so ist auch g ◦ f injektiv (bzw. surjektiv).
Was können Sie für bijektive f, g bijektiv schließen?
b) Finden Sie konkrete Abbildungen f und g, sodass f nicht surjektiv und g nicht injektiv aber
g ◦ f trotzdem bijektiv ist.
c) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : Q2 → Q2
,(x, y) 7→ (x + y, x − y + 2) bijektiv ist, indem
Sie explizit eine Umkehrabbildung angeben.

Hinweis: In b) benötigen Sie keine unendlichen Mengen! In c) ist natürlich zu begründen, dass die
von Ihnen angegebene Abbildung eine Umkehrabbildung ist. Dazu können Sie z.B. die Definition
aus Satz/Definition Sei f : M → N eine Abbildung, dann gilt:
f ist bijektiv ⇔ ∃g ∈ Abb(N,M) : f ◦ g = idN ∧ g ◦ f = idM . (8)
Diese Abbildung g ist durch f eindeutig bestimmt. Sie heißt Umkehrabbildung oder Inverse von f und wird mit f
−1 bezeichne

verwenden.

Answer 1

zu a) siehe dort

https://www.mathelounge.de/450488/beweisen-widerlegen-surjektiv-injektiv-surjektiv-injektiv

und zum 2. Teil

https://www.mathelounge.de/389667/zeigen-sind-injektive-funktionen-auch-verknufpung-injektiv

b)   M={1;2}  N={1;2;3}   P={1;2}

f(1) = 1   f(2)=3   also nicht surjektiv

g(1)=1   g(2)=2   g(3)=2     also nicht injektiv

g ◦ f = id_M also bijektiv.

c) Sei \(  f(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})  =\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)

==>   \(   x=\frac{a+b-2}{2}   \)  und   \(  x=\frac{a-b+2}{2}  \)

Also wäre die Umkehrfunktion

\(  g(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})  =\begin{pmatrix} \frac{x+y-2}{2} \\\frac{x-y+2}{2} \end{pmatrix} \)

Denn es gilt in der Tat:

f ◦ g(\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)) \(= f(\begin{pmatrix} \frac{x+y-2}{2} \\\frac{x-y+2}{2} \end{pmatrix}) \)

\(= \begin{pmatrix} \frac{x+y-2}{2}+\frac{x-y+2}{2} \\ \frac{x+y-2}{2} - \frac{x-y+2}{2} +2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\)

und für g ◦ f entsprechend.  Also ist g die Umkehrfunktion.