Wie weist man die Stetigkeit einer Funktionenfolge nach?

Question

Aufgabe:

Wie weist man die Stetigkeit einer Funktionenfolge nach?

Also gesucht ist eine Funktionenfolge und eine Grenzfunktion jeweils auf [0,1]→ℝ, bei der erstere stetig für alle n und punktweise konvergent ist und die Grenzfunktion nicht stetig ist.

Problem/Ansatz:

die letzten zwei Dinge sind klar, wie zeigt man aber die Stetigkeit von Funktionenfolgen

Comments

"stetige Funktionenfolge"

... ist eine unglückliche Formulierung für "Folge stetiger Funktionen".

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Konkretes Beispiel: \(f_n(x) = x^n\) auf \([0,1]\).

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d.h. das Vorliegen einer Folge stetiger Funktion ist die Voraussetzung für punktweise oder gleichmäßige Konvergenz

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d.h. das Vorliegen einer Folge stetiger Funktion ist die Voraussetzung für punktweise oder gleichmäßige Konvergenz

Das ist falsch.

Es gibt auch Folgen nicht stetiger Funktionen, die gleichmäßig bzw. punktweise konvergieren.

Hier geht es vor alle darum zu verstehen, dass der punktweise Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen nicht stetig sein muss.

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Ok und was wäre so eine Folge nicht stetiger Funktionen?

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Ich habe nun folgende Funktionenfolge fn(x)=x^n auf [0,1] gefunden, passt dieses auf die obige Beschreibung?

Diese konvergiert für [0,1) gegen 0 für x=1 gegen 1, jedoch ist diese nicht stetig und somit auch nicht gleichmäßig konvergent

Also gesucht ist eine Funktionenfolge und eine Grenzfunktion jeweils auf [0,1]→ℝ, bei der erstere stetig für alle n und punktweise konvergent ist und die Grenzfunktion nicht stetig ist.

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Ist diese korrekt?

Answer 1

Ich denke da zum Beispiel an diese Funktionen f_n :

Der Graph von f_n sei der Streckenzug A P_n B ,

wobei  A = (0 | 1) , P_n = (\( \frac{1}{n} \) | 0) , B = (1 | 0) .

Die  Funktionen  f_n  sind für alle n ∈ ℕ  stetig auf [0 | 1],

die Grenzfunktion aber an der Stelle x = 0  nicht.