Aloha :)
Am besten wandelst du den Term so um, dass du Real- und Imaginärteil direkt erkennen kannst. Dann kannst du die \(\lambda\) bestimmen, für die der Imaginärteil verschwindet. Dazu erweitern wir den Nenner so, dass wir ihn mit Hilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen können:
$$\small z=\frac{5+8i}{\lambda-3i}=\frac{(5+8i)\cdot\pink{(\lambda+3i)}}{(\lambda-3i)\cdot\pink{(\lambda+3i)}}=\frac{5\lambda+i\,8\lambda+15i+24i^2}{\lambda^2-(3i)^2}=\frac{5\lambda+i(8\lambda+15)+24i^2}{\lambda^2-9i^2}$$Wegen \(\,i^2=-1\,\) können wir dies noch weiter vereinfachen:$$\phantom z=\frac{5\lambda+i(8\lambda+15)-24}{\lambda^2+9}=\frac{5\lambda-24}{\lambda^2+9}+i\,\frac{8\lambda+15}{\lambda^2+9}$$
Der Imaginärteil verschwiindet, wenn der Zähler des zweiten Bruches zu Null wird:$$8\lambda+15=0\implies \lambda=-\frac{15}{8}$$Für dieses \(\lambda\) wird der Wert von \(z\) reell.
