Für welche n ist die komplexe Zahl z^n reell?

Question

\( \alpha=\frac{5 \pi}{3} \)

\( z=2(1-\sqrt{3} i) \)

Für einige \( n \in \mathbb{N} \) ist Potenz \( z^{n} \) reell.

Geben Sie ein derartiges \( n \) an und berechnen Sie \( z^{n} \) für dieses \( n \).

\( z^{n}=r^{n}(\cos (x n)+\sin (\alpha n)) \)

\( \Rightarrow i \sin (α-1)=0 \) \( |: i \operatorname{arcsin} \)
\( \sin (α \cdot n)=0 \qquad | :α \)
\( n=0 \)

\( z^{n}=4^{0}\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{3} \cdot 0\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{3} \cdot 0\right)\right] \)
\( z^{n}=0 \)

Habe ich richtig gerechnet?

Answer 1

HI immai,

das passt leider nicht. Du hast doch

2*(1-√3*i).

Nur mal die Klammer angeschaut:

r = √(1^2+(-√3)^2) = 2

Und arctan(-√3) = 5/3*π

 

Wir haben also ein z in Polarkoordinaten (hier wieder die 2 davor multipizieren):

z = 4*e^{5/3*πi}

 

Nun ist z reell, wenn der Exponent ein Vielfaches von π ist. Das heißt für n = 3k haben wir ein reelles z.

 

z^n = 4^n*e^{5/3*nπ*i}  mit n = 3k ist gesucht.

 

Grüße

Comments

Warum haben wir bei pi vielfaches etwas reeles? Und die euler form hatte ich auch so. Aber warum n=3k? Watum nicht 5/3k?

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Es ist doch so, dass Du hier im Prinzip mit Radian rechnest. Wenn wir das mal in Winkel anschauen wollen und uns ins Schaubbild begeben, dann wollen wir nur Winkel haben, welche 0° sind oder 180° (bzw. Vielfache davon). Sprich wir wollen alleine auf der x-Achse verbleiben. Das ist in Radian ausgedrückt für π und seine Vielfache der Fall.

Da wir im Bruch im Nenner eine 3 haben, müssen wir diese ausmerzen um dafür zu sorgen, dass wir Vielfache von π Exponenten haben ;).


Nun klar? ;)

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Nur mal aus Interesse: Ist das Oberstufenmathematik oder lernt man sowas nur in einem Mathelastigen Studium?

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Ah ja klar macht sinn. Alles macht jezzt einen sinn^^ spass bei seite ok klar danke du hast auch gut erklärt danke. Gute erklärung^^.

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Also ich studiere mathematik bin grad im erstrn semester. Aber ob man sowas auch in oberstufe abi hat weisd ich nicht.

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@immai: Danke für das Lob :)

@Simon: In Baden-Würrtemberg ist das ein Wahlthema nach dem Abi, also nicht mehr relevant für den Unterricht.