Kritische Punkte mit der Methode von Lagrange

Question

Text erkannt:

I5. Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem
\( f(x, y)=3 x-4 y+6 \rightarrow \text { extremal } \quad \text { unter der NB: } \quad x^{2}+y^{2}=25 \)

Text erkannt:

(b) i. Bestimme die kritischen Punkte mit der Methode von Lagrange!
ii. Klassifiziere die gefundenen Punkte!
iii. Bestimme für jeden kritischen Punkt den Funktionswert!
iv. Gib für jeden kritischen Punkt an, wie sich der Funktionswert im kritischen Punkt ungefähr ändert, wenn die rechte Seite der Nebenbedingung von 25 auf 28 erhöht wird!
Finde die Lösung ohne das Problem neu zu lösen!

Aufgabe:könntet ihr mir beim Rechenweg helfen?

Danke im Voraus!

Answer 1

\(  L(x,y,\lambda)= 3 x-4 y+6 + \lambda (x^{2}+y^{2}-25 ) \)

\(   L_x = 3 + 2x\lambda  \)

\(  L_y = -4 + 2y\lambda \)

\(  L_\lambda = x^{2}+y^{2}-25  \)

Alle drei gleich 0 gesetzt gibt aus (1)  \(  \lambda = \frac{-3}{2x}\)

in (2)  \(  4 =  2y\cdot\frac{-3}{2x}\)  also \(  y =  -\frac{4x}{3}\)

Das in (3)  \( 0 = x^{2}+ \frac{16x^2}{9}-25  \)

                  \( 25 =  \frac{25x^2}{9}  \)

 also x^2 = 9 und damit x=3 oder x=-3.