Eigenschaften konvexer Funktionen

Question

Aufgabe:

Liegt jede Verbingsungsgerade zwischen zwei Punkten \( (a, f(a)) \) und \( (b, f(b)) \) mit \( a<b \) oberhalb vom Funktionsgraphen von \( f \), so nennt man die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) konvex.

Zeige: Ist  \( f \) differenzierbar auf einer offenen Teilmenge \( D \subset \mathbb{R} \) und \( f^{\prime} \) wachsend auf \( D \) ist, so ist \( f \) konvex auf \( D \).

Mir fehlt bei dieser Aufgabe leider der Ansatz. Ich freue mich über Tipps!

Comments

Hallo

mach es dir an einer einfachen Parabel y=x^2 klar f''>=0 heisst f' wachsend

was bedeutet es für f'<0 was für f'>0 dann sie es bei a und b an, was sagt der MWS für die Sehne?

Gruß lul

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f soll aber nur einmal differenzierbar sein.

Answer 1

Es sei \(a<b\) im Definitionsbereich und

$$z=(1-s)a+sb \text{  mit }s \in (0,1)$$

ein Zwischenpunkt. Der Mittelwertsatz sagt:

$$f(z)=f(a)+f'(p)(z-a) \text{  und }f(b)=f(z)+f'(q)(b-z)$$

Mit Punkten \(p \in (a,z)\) und \(q \in (z,b)\). Es folgt

$$f(z)=(1-s)f(z)+sf(z)=(1-s)f(a)+sf(b)+(f'(p)-f'(q))(1-s)s(b-a)\\\quad \leq (1-s)f(a)+sf(b) $$

Die letzte Ungleichung gilt, weil wegen der vorausgesetzten Monotonie von f' die Differenz f'(p)-f'(q) nichtpositiv ist.