Aufgabe:
Sei \( \mu \) ein \( \mathrm{Ma} \beta \) auf \( \mathbb{R}^{N}, B \subset A \subset \mathbb{R}^{N} \) mit einer \( \mu \)-messbaren Menge \( A \) mit endlichem \( \operatorname{Ma} \mu(A)<\infty \). Zeigen Sie, dass
\( \mu(A)=\mu(B) \quad \Leftrightarrow \quad \mu(A \cap T)=\mu(B \cap T) \) für alle messbaren Mengen \( T \subset \mathbb{R}^{N} \)
gilt.
Folgern Sie: Für Mengen \( B \) mit \( \mu(B)<\infty \) folgt aus der Borel-Regularität des Maßes \( \mu \) auch die Existenz einer \( \mu \)-Hülle.
Problem/Ansatz:
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits folgendermaßen gelöst:
⇒ Annahme, dass B⊂A, μ(B)=μ(A) und T ist messbar. Wir wollen somit erhalten \( \mu(A \cap T)=\mu(B \cap T) \)
⇐ Ist trivial mit T=B
Über A weiß man, dass es sich um eine Obermenge von B handelt, weshalb es zwei Richtungen gibt:
1): Den Teil B von A in seinen eigenen Summanden in einer disjunkten Vereinigung \( A=B \cup(A \backslash B) \) herausheben, um die linke Seite in der angestrebten Äquivalenz zu etwas zu erweitern, was die rechte Seite einschließt.
2): Wenn eine Menge innerhalb einer anderen liegt und das gleiche Maß hat, muss die Differenz eine Nullmenge sein.
Unter Anwendung von 1) gilt:
\( \begin{aligned} A \cap T & =(B \cup(A \backslash B)) \cap T \\ & =(B \cap T) \cup((A \backslash B) \cap T) \end{aligned} \)
Dies ist ebenfalls eine disjunkte Vereinigung, sodass gilt
\( \mu(A \cap T)=\mu(B \cap T)+\mu((A \backslash B) \cap T), \)
Unter Anwendung von 2) ist der zweite Summand gleich Null, es gilt:
\( \mu(A \cap T)=\mu(B \cap T) \)
Mit dem zweiten Teil der Aufgabe komme ich nicht weiter (Für Mengen \( B \) mit \( \mu(B)<\infty \) folgt aus der Borel-Regularität des Maßes \( \mu \) auch die Existenz einer \( \mu \)-Hülle):
Ist μ Borel-regulär so gilt ja: \( \Leftrightarrow \quad \mu(A)=\inf \{\mu(B): B \) Borel-Menge, \( A \subset B\} \).
Irgendwie müsste man jetzt ja zeigen, dass \( \mu \) regulär und \( B \sigma \)-endlich ist, sodass \( B \) eine \( \mu \)-Hülle besitzt.
Wie könnte ich das anschaulich zeigen - danke für Hilfe
