(i) Betrachte \( \frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{3^{k}+4^{-k}}{3^{k+1}+4^{-(k+1)}} \)
Kürzen mit \( 3^{k}\) gibt
\( \frac{ 1+(\frac{1}{12})^{k}}{3+ \frac{1}{4}\cdot(\frac{1}{12})^{k}} \)
Für k→∞ ist der Grenzwert \(\frac{1}{3}\) , das ist der Konvergenzradius.
Und für |x|< \(\frac{1}{3}\), kannst du es in 2 Summen aufteilen
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}3^{k} x^{k}= \sum \limits_{k=0}^{\infty} (3x)^{k}=\frac{1}{1-3x} \) (geom. Reihe)
und \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}0,25^{k} x^{k}= \sum \limits_{k=0}^{\infty} (0,25x)^{k}=\frac{1}{1-0,25x} \)
Also wird dargestellt die Funktion mit \( f(x)=\frac{1}{1-3x}+\frac{1}{1-0,25x} \)
(ii) Betrachte \( \frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{\frac{k+1}{5 k+3}}{\frac{k+2}{5 k+8}} = \frac{k+1}{5 k+3}\cdot{\frac{5k+8}{k+2}}\)
\(= \frac{5k^2 +13k +8}{5k^2+13k+6} = \frac{5 +\frac{13}{k} +\frac{8}{k^2}}{5 +\frac{13}{k} +\frac{6}{k^2}} \)
Für k→∞ ist der Grenzwert 1 , das ist der Konvergenzradius.
