Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Uns sind 3 Punkte bekannt: \(\,A(1|1|-2)\,\), \(\,B(3|-2|1)\,\) und \(\,C(-1|1|-2)\,\).
Diese 3 Punkte liegen in einer Ebene. Um eine Parametergleichung für diese Ebene zu bestimmen, stellen wir uns auf den Punkt \(A\) und blicken in Richtung von Punkt \(B\). Dazu müssen wir die x-Koordiante um \(2\) erhöhen, die y-Koordinate um \(3\) vermindern und die z-Koordinate um \(3\) erhöhen:$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}$$
Nun blicken wir von Punkt \(A\) aus auf Punkt \(C\). Dazu müssen wir die x-Koordinate um \(2\) vermindern, die y-Koordinate bleibt wie sie ist und die z-Koordinate bleibt ebenfalls ungeändert:$$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$$
Nun gucken wir nicht einfach nur in diese Richtungen, sondern gehen sie entlang. Wir können \(s\) Schritte entlang \(\overrightarrow{AB}\) gehen und \(t\) Schritte entlang \(\overrightarrow{AC}\), ohne dass wir die Ebene mit den 3 Punkten verlassen. Damit haben wir eine Parameter-Darstellung dieser Ebene gefunden:$$E\colon\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$$
Um daraus nun eine Koordinatengleichung zu machen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten \((x,y,z)\) aller Punkte der Ebene zueinander herstellen. Es fällt sofort auf, dass die x-Koordinate völlig unabhängig von der y- und von der z-Koordinate ist, da der Parameter \(t\) nur die x-Koordinate ändert. Es ist völlig egal, welchen Wert der Parameter \(s\) hat. Wir können \(t\) immer so wählen, dass x jeden beliebigen Wert annehmen kann. An die x-Koordinate wird also keine Bedingung geknüpft. Sie wird daher in der Koordinatengleichung für die Ebene nicht vorkommen.
Die beiden anderen Koordinaten \(y\) und \(z\) sind jedoch über den Parameter \(s\) miteinander verknüpft. Wenn wir die Koordinatengleichungen für \(y\) und für \(z\) nach \(3s\) umstellen, erkennen wir den Zusammenhang:$$\small\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2s-2t\\1-3s\\-2+3s\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{c}3s=1-y\\3s=z+2\end{array}\right\}\implies z+2=1-y\implies y+z=-1$$
Damit haben wir auch eine Koordinatendarstellung für die Ebene gefunden:$$E\colon y+z=-1$$
