Berechne den gesuchten Abstand

Question

Bestimme auf der Kurve y = x²/4 jenen Punkt Q, der vom Punkt P(1|2) den geringsten Abstand
hat. Berechne diesen Abstand.

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https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/extremwertaufgaben/abstand_punkte_kurve

Answer 1

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Was ist genau das Problem mit der Aufgabe?

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Wenn man sich andere Fragen von nanskxbx ansieht, stellt man fest, dass die Aufgaben kommentarlos gepostet werden, vermutlich in der oftmals erfolgreichen Hoffnung, dass irgend ein Depp die vollständige Lösung serviert.

Answer 2

Die Punkte auf der Kurve haben die Koordinaten (x|x²/4).

Abstand von P(1|2) also d(x)=√(  (x^2/4 - 2)^2 + ( x-1)^2 )

Der Abstand ist am kleinsten, wenn der Term in der Wurzel

den kleinsten Wert hat.

Betrachte also f(x) =  (x^2/4 - 2)^2 + ( x-1)^2

                         =  x^4/16 - x^2 + 4 + x^2 - 2x + 1

                             =  x^4/16  - 2x + 5

f ' (x) = x^3 / 4  - 2   Das ist 0 falls x^3 / 4 = 2

                                                    <=>  x^3 = 8

                                   Also für x=2 .

Dann ist der Punkt auf der Kurve Q( 2 | 1).

Der Abstand ist √(f(2) ) = √2 . Sieht so aus:

~plot~ x^2/4; {1|2} ~plot~

Answer 3

Bestimme auf der Kurve \(y = \frac{1}{4}x^2\) jenen Punkt Q, der vom Punkt \(P(1|2)\) den geringsten Abstand
hat. Berechne diesen Abstand.

\(d^2=(2-\frac{1}{4}u^2)^2+(u-1)^2\)

\(d(u)=\sqrt{(2-\frac{1}{4}u^2)^2+(u-1)^2}\) soll minimal werden.

\(d´(u)=\frac{2 \cdot(2-\frac{1}{4}u^2 )\cdot(-\frac{1}{2}u)+2u-2}{ 2 \sqrt{(2-\frac{1}{4}u^2)^2+(u-1)^2}}\)          

\(d´(u)=\frac{ (2-\frac{1}{4}u^2 )\cdot(-\frac{1}{2}u)+u-1}{  \sqrt{(2-\frac{1}{4}u^2)^2+(u-1)^2}}\)

\(\frac{ (2-\frac{1}{4}u^2 )\cdot(-\frac{1}{2}u)+u-1}{  \sqrt{(2-\frac{1}{4}u^2)^2+(u-1)^2}}=0\)   

\(u=2\)

\(d^2=(2-\frac{1}{4}*2^2)^2+(2-1)^2\)

\(d=...\)