Grenzwert von Folge beweisen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) Beweisen Sie: Für alle \( m \in \mathbb{N} \) und \( \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{m} \in \mathbb{R} \) gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=0}^{m} \lambda_{k} a_{n}^{k}=\sum \limits_{k=0}^{m} \lambda_{k} a^{k} . \)

Problem/Ansatz:Erstmal Entschuldigung für dieses schlechte Foto, ich hoffe man kann die Aufgabe dennoch gut erkennen. Ich verstehe hier nicht ganz welchen Ansatz ich wählen sollte. Wenn per Induktion, dann soll ich nach m induzieren ? Oder existiert hier ein anderes Beweisprinzip ?

Über jede Hilfe wäre ich dankbar !

Comments

Die Aufgabe ist unvollständig. Über deine \(a_n\) wissen wir nichts.

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Was weiß man über a_n?

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Und was ist a ? Vielleicht ist es ja \(  \lim \limits_{n \to \infty}  a_n = a\)

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an ist Element von R und konvergiert gegen a

Dies ist die Vorgabe für dieses Übungsblatt.

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Die Definition von an habe ich unabsichtlich rausgeschnitten, ein zweites mal Sorry dafür.

Answer 1

Vermutlich habt ihr ja schon sowas bewiesen wie

Grenzwertsätze:

\(  \lim \limits_{n \to \infty}  a_n = a\) und \(  \lim \limits_{n \to \infty}  b_n = b\)

==> \(  \lim \limits_{n \to \infty} ( a_n + b_n )  = a + b \)

Und auch

\(  \lim \limits_{n \to \infty}  a_n = a\) und \(  \lim \limits_{n \to \infty}  b_n = b\)

==> \(  \lim \limits_{n \to \infty} ( a_n \cdot b_n )  = a \cdot b \)

Und auch

\(  \lim \limits_{n \to \infty}  a_n = a\) und   \( \lambda \in \mathbb{R} \)

==> \(  \lim \limits_{n \to \infty} ( \lambda \cdot a_n )  = \lambda \cdot a  \)

Dann geht es doch hier einfach mit Induktion über m und

Anwendung dieser Sätze.