Grenzwert der Folge a_(n) = ^n√(n) beweisen.

Question

Beweise, dass $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt [ n ]{ n } =1 $$

Ich möchte dafür die Definition des Grenzwertes einer Folge verwenden:

$$ |\sqrt [ n ]{ n } -1|<\epsilon \leftrightarrow 1-\epsilon<\sqrt [ n ]{ n }<\epsilon+1 $$

Wie muss ich weiter umformen um das passende N<n zu finden, um den Grenzwert zu beweisen?

Answer 1

weiter umformen ist richtig:

hoch n gibt

n < (e+1)^n =  1+ n*e + n(n-1)/2 e^2 + ...

und es gilt  sogar wenn nur gezeigt wird

n  < 1  + n(n-1)/2 e^2

n-1  < n(n-1)/2 e^2 

2  <  n * e^2

2/ e^2 < n

wenn also n > 2 / e^2 gewählt wird, ist es erfüllt.

Comments

Habe mir soeben einen User erstellt,

Ich verstehe den folgenden Teil nicht:

(e+1)ⁿ =  1+ n*e + n(n-1)/2 e² + ... wie bist du darauf gekommen?

Warum kann man die restlichen Terme weglassen inklusive n*e???

Warum wird -(e+1)ⁿ <n nicht beachtet ?

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Mathef hat hier den binomischen Lehrsatz verwendet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomischer_Lehrsatz_f.C3.BCr_nat.C3.BCrliche_Exponenten 

Answer 2

n^{1/n} = exp(ln(n^{1/n})) = exp(1/n * ln(n))

Schau jetzt mal welchen Grenzwert der Exponent hat und schließe darauf auf den Grenzwert von n^{1/n}.