Konvergenz von Folgen beweisen. a_(n) = (1 + (-1)^n)/(n+1), a_(n) = 1/√(n+1)

Question

wie kann man zeigen, ob Folgen (an), n∈N0 konvergent sind?

Beispiel:

\( a_{n}=\left(\frac{1+(-1)^{n}}{n+1}\right) \)
\( a_{n}=\frac{1+n+n^{2}}{1-2 n^{2}} \)
\( a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1} \)
\( a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \)

Ich habe Probleme mit dem Epsilon.

Answer 1

Deine erste Folge kann man in zwei Teilfolgen aufteilen:

Für gerade n: 0

Für ungerade n : 2/(n+1)

Damit hast du 2 Teilfolgen,die nicht gegen den selben Wert konvergieren. Die gesamte Folge konvergiert damit nicht.

(Bin mir etwas unsicher, ob man das so machen kann)

Bei der 3. und 4. Folge einfach den höchsten Exponenten im Zahler und Nenner ausklammern. Und danach kürzen.

Bei der letzten läuft der Nenner ja offensichtlich gegen unendlich. Daraus folgt?

Oder sollst du das per Epsilonbeweis machen?

Comments

Die 1. Folge konvergiert, da sie eine Nullfolge ist.

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Du möchtest Konvergenz mit Konvergenz begründen?

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Nein es sollte ein Hinweis darauf sein, dass der erste Teil der Antwort falsch ist monsieur. Außerdem, sofern man weiß das eine Nullfolge konvergiert kann man dies als Begründung verwenden (natürlich müsste man zeigen, dass es sich um eine Nullfolge handelt).

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Oh beide Teilfolgen konvergieren gegen 0. Keine Ahnung was ich mir gedacht habe. Und deswegen konvergiert die Folge auch gegen 0.

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@Yakyu ich finde manche Gastkommentare auch etwas unglücklich ausgedrückt, dass sie leicht reizend wirken :D

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@Marvin: Kann passieren, bei (-1)^n denkt man manchmal zu schnell an Divergenz.

Ja es gibt hier son paar Klugscheißer die Kommentare und Antworten nicht unterscheiden können. 

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Nein es sollte ein Hinweis ... sein

Ok, dies war mir beim ersten Lesen nicht klar!

Ja es gibt hier son paar Klugscheißer die Kommentare und Antworten nicht unterscheiden können. 

Nun, ich werde mich bemühen, diesem Detail in Zukunft mehr Beachtung zu schenken! :-)

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danke für die Antwort. Ja wir sollen das mit dem epsilonbeweis machen...

also z.b. für die letzte 1/wurzel(n+1), vermuteter Grenzwert=0

also lim (n->unendlich)=0 und dann | an-a | < ε usw... kann jemand das hier ich verstehe das nicht...?

Answer 2

Du sollst das mit Epsilon E > 0 beweisen?

Bsp. a_(n) = 1/√(n+1)  ist eine Nullfolge.

|1/√(no+1) - 0|  < E         | no ≥ 0 --> man kann Betrag links weglassen

1/√(no + 1) < E           | auflösen nach no

1/E < √(no + 1)

1/E^2 < no + 1

-1 + 1/E^2 < no

Für alle n > no = aufgerundet( -1 + 1/E^2)  ist |a_(n) - 0| < E. q.e.d.

Comments

Vielen Dank, das konnte ich jetzt nachvollziehen, aber mir fehlt echt die Übung. Die erste kann ich mit den zwei teilfolgen beschreiben (divergent - muss/kann man das auch mit E beweisen?),

Aber wie macht man die 2. und 3.? Ich hab da n^2 herausgekürzt, aber weiß nicht wie es weiter geht... 

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Die erste ist auch eine Nullfolge. Die konvergiert. Vgl. Diskussion bei der andern Aufgabe.

Die Zweite konvergiert gegen 1/2.

Beginne mit 

| a_(no) - 1/2| < E 

Die Dritte divergiert. Du kannst beweisen, dass jede Zahl z > 0 irgendwann überschritten wird.

Man muss übrigens nicht unbedingt formal auflösen. Du darfst no ohne Weiteres überschätzen. Hauptsache du kommst noch auf eine endliche Zahl.

Lies dir mal die Antworten bei den "ähnlichen Fragen"  oder mit Tag "Epsilon" durch, die Epsilon benutzen. 

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Cool, ich bin dabei es zu verstehen :)

aber die 2. müsste gegen -1/2 konvergieren, oder?

Ich stecke gerade bei |an+1/2|<E => ((1+n+n²)/(1-2n²))+1/2 < E... wie geht es hier weiter?

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und kann man bei der 3. nach dem Umformen/Kürzen schreiben

an=1/(1/n+1/n²)

 lim (n->unendlich)=1/0 -> kein Grenzwert, Folge divergiert, oder muss/kann man das auch mit E beweisen?

Vielen Dank :)

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Ah, die 2. hab ich gelöst ^^ das ging sogar recht leicht dann.

Fehlt nur noch die 3. Wie man das am besten schreibt beweist dass die divergiert (eventuell auch mit E?)

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Bei 3. kann man recht einfach zeigen, dass jede reelle Grenze G nach einem bestimmten no nicht mehr überschritten wird.

Sei G Element R , G > 10 fest und no > 3.

G < n^2 / (n+1)  für n alle n > no.

 no^2 / (no + 1)  > no^2 / (2no) = no/2 .

no/2 > G

no > 2G   

no: = Round (2G +1)

Es folgt: Für alle a_(n) mit n ≥ no = Round (2G + 1) gilt. a_(n) > G. q.e.d.