Sei \(\rho:=a_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\). Dann ist \(a_2=\rho^2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\).
Man errechnet leicht \(\rho^2+\rho+1=0\). Hieraus ergibt sich
\(\rho^3=\rho\cdot\rho^2=\rho\cdot(-\rho-1)=-\rho^2-\rho=1\), also ist \(\rho\) eine
3-te Einheitswurzel. Damit ergibt sich die Folge \((a_n)\) zu
\(\rho,\rho^2,1,\rho,\rho^2,1,\rho,\rho^2,\cdots\).
Diese besitzt die 3 konstanten Teilfolgen
\(a_1=a_4=a_7=\cdots=\rho\),
\(a_2=a_5=a_8=\cdots=\rho^2\),
\(a_3=a_6=a_9=\cdots=1\)
mit den verschiedenen(!) Grenzwerten \(\rho,\rho^2,1\).
Also ist die Folge divergent.
