Hier geht es nicht um die Transformationsformel, sondern um das Vertauschen der Integrationsreihenfolge.
In beiden Fällen gibt es keinen analytischen Ausdruck für die Stammfunktionen von \(e^{x^2}\) bzw. \(\frac {\sin x}x\), was die Berechnung der Doppelintegrale massiv erschwert.
Eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge lässt dieses Problem aber verschwinden.
Das skizzieren der Integrationsgebiete überlasse ich dir. Hier die Integrale mit vertauschter Integrationsreihenfolge:
$$I_1 = \int_{x=0}^2\int_{y=0}^{2x}e^{x^2}\,dy\,dx=\int_{x=0}^2 2xe^{x^2}\,dx= \left[e^{x^2}\right]_0^4 = e^4-1$$
$$I_2 = \int_{x=0}^{\pi}\int_{y=0}^{x}\frac {\sin x}x\,dy\,dx=\int_{x=0}^{\pi} \sin x\,dx= 2$$
