Transformationsformel hier anwendenbar?

Question

Aufgabe:

Hallo

bei folgender Aufgabe konnte der Tutor nicht wirklich weiter helfen ( Siehe Bild ).

Kann man das Integral auch nicht mit der Transformationsformel lösen? Also ist es einfach das Fehlerintegral?

Würde mich freuen wenn ihr ein paar ideen hättet für die Teilaufgabe 1b)

LG

Text erkannt:

1. Aufgabe: Satz von Fubini

Betrachten Sie die folgenden Doppelintegrale:
$I_{1}=\int \limits_{0}^{4} \int \limits_{y / 2}^{2} e^{x^{2}} d x d y, \quad I_{2}=\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{y}^{\pi} \frac{\sin x}{x} d x d y$
a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet des Integrals $I_{1}$.
b) Berechnen Sie das Integral $I_{1}$.
c) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet des Integrals $I_{2}$.
d) Berechnen Sie das Integral $I_{2}$.

Answer 1

Hier geht es nicht um die Transformationsformel, sondern um das Vertauschen der Integrationsreihenfolge.

In beiden Fällen gibt es keinen analytischen Ausdruck für die Stammfunktionen von $e^{x^2}$ bzw. $\frac {\sin x}x$, was die Berechnung der Doppelintegrale massiv erschwert.

Eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge lässt dieses Problem aber verschwinden.

Das skizzieren der Integrationsgebiete überlasse ich dir. Hier die Integrale mit vertauschter Integrationsreihenfolge:

$$I_1 = \int_{x=0}^2\int_{y=0}^{2x}e^{x^2}\,dy\,dx=\int_{x=0}^2 2xe^{x^2}\,dx= \left[e^{x^2}\right]_0^4 = e^4-1$$

$$I_2 = \int_{x=0}^{\pi}\int_{y=0}^{x}\frac {\sin x}x\,dy\,dx=\int_{x=0}^{\pi} \sin x\,dx= 2$$

Comments

Danke... aber wie bist du auf die neuen Integrationsgrenzen gekommen?

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@Bosna321
Genau deshalb soll man zuerst den Integrationsbereich skizzieren, damit man schnell die Vertauschung der Integrationsreihenfolge durchführen kann.

Hier ist der Integrationsbereich zum 1. Integral.

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Ja das tat ich auch. Habe aber für I1

Als Grenzen für y :

2 ( Obere Grenze ) 2x ( untere Grenze )

Als Grenzen für x :

4 ( Obere Grenze) 0 ( untere Grenze )

Der Tutor meinte wäre richtig deshalb.

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Das war dann also nicht richtig...

Danke für den Tipp

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Unten siehst du den ursprünglichen Bereich für $I_1$.
Offensichtlich gilt: $0\leq x \leq 2$ und $0\leq y \leq 2x$.

Du kannst ja deine angeblich richtigen Grenzen mal bei WolframAlpha einsetzen. Da kommt etwas ganz anderes heraus.

Guckst du hier.

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???hä

Steht doch oben schon.

Das ist lächerlich ^^

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@Bosna321
Ich hatte deinen letzten Kommentar übersehen.