Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenz

Question

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Aufgabe 17 (8 Punkte). Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(i) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-k}}{2 k !} x^{k+2} \),
(ii) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \cdot \frac{k}{3^{k}} \cdot(x-2)^{k} \).

Untersuchen Sie für die Potenzreihe in (ii) auch das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls.

Answer 1

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \cdot \frac{k}{3^{k}} \cdot(x-2)^{k} \)

Untersuche \(  |\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \frac{k \cdot 3^{k+1}}{3^k \cdot(k+1)} =3 \cdot \frac{k }{k+1} \)

Der Bruch geht für k→∞ gegen 1, also ist der Konvergenzradius = 3.