Berechne die Umkehrfunktion F^{-1} explizit für eine Umgebung des Punktes P=(9,-5)

Question

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( F:[0 ; \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( F(s, t)=\left(\begin{array}{c} 2 \sqrt{s} \\ 4 s-t^{2} \end{array}\right) \)
(a) Berechne die Umkehrfunktion \( F^{-1} \) explizit für eine Umgebung des Punktes \( P=(9,-5) \)
(b) Verifiziere die Gültigkeit der Beziehung
\( \left.J\left(F^{-1}\right)\right|_{F(P)}=\left(\left.J(F)\right|_{P}\right)^{-1} \quad \text { für } \quad P=(9,-5) \)

Aufgabe: könntet ihr mir beim Rechenweg von a un b helfen?

Answer 1

Wir haben

$$F(s,t)=\begin{pmatrix} 2\sqrt{s}\\4s-t^2 \end{pmatrix} \text{  und }F(9,-5)=\begin{pmatrix} 6\\11 \end{pmatrix}$$

Zur Berechnung der Umkehrfunktion von F lösen wir die Gleichung \(F(s,t)=(x,y)\) nach \((s,t)\) auf. Die erste Zeile liefert \(s=0.25x^2\), (korrigiert) die zweite, dann \(t=-\sqrt{x^2-y}\) - das Minuszeichen ist zu wählen, damit die Darstellung im vorgegebenen Punkt P passt. Also

$$F^{-1}(x,y)= \begin{pmatrix} 0.25x^2\\-\sqrt{x^2-y} \end{pmatrix} \text{  mit }F^{-1}(6,11)=\begin{pmatrix} 9\\-5 \end{pmatrix}$$

Du musst jetzt

1. Die Jacobi-Matrix von \(F^{-1}\) berechnen und im Punkt (6,11) auswerten.

2. Die Jacobi-Matrix von F berechnen, diese im Punkt (9,-5) auswerten und dann invertieren.

Comments

Hi! Danke, kannst du mir nur noch mit der Jacobi-Matrix von \(F^{-1}\) Berechnung helfen?

Text erkannt:

passt. Also
\( F^{-1}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 0.25 x^{2} \\ -\sqrt{x^{2}-y} \end{array}\right) \operatorname{mit} F^{-1}(6,11)=\left(\begin{array}{c} 9 \\ -5 \end{array}\right) \)

Und oben sollte 0,5x^2 sein oder?

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Es muss 0.25 sein, nach der Definition der Umkehrfunktion. Ich hatte oben einen Druckfehler, verbessert.

Die Jacobi-Matrix besteht doch einfach aus den partiellen Ableitungen. Dazu hast Du Dich schon mehrere Aufgaben bearbeitet.