Limes & Differenzierbarkeit von lim n to infinity ((5x-1)/(x^2+5))^(2n+1)

Question

Aufgabe:

Teil 1: \( \lim\limits_{n\to\infty}\) \( \frac{5x-1}{x^2+5}^{2n+1} \) x∈ℝ,n∈ℕ

( lim n to infinity ((5x-1)/(x^2+5))^(2n+1) )

Teil 2: Ist Teil 1 Differenzierbar?

Problem/Ansatz:

Ich habe aktuell massiv Probleme die obige Aufgabe entsprechend korrekt zu lösen.
Dazu, gibt es in der zugehörigen Formelsammlung:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (0: |x| < 1; 1: x = 1; ∞: x > 1; unb. div.: x ≤ -1)

Für teil 1 ist nun das Problem, dass ich nicht weiß wie ich auf die konkrete Lösung hier komme (für x > 0 ist |y| > 1 bei 2 >= x >= 3; für x < 0 ist |y| > 1 bei -4 <= x <= -1).

Zum zweiten teil fehlt mir leider komplett jeglicher Ansatz um es konkret lösen zu können.
Reicht es, sich hier den inneren teil anzuschauen? oder muss ich tatsächlich alles betrachten?

Vielen Dank für eure Zeit
PS.
Teil 1 der besagten frage, wurde bereits hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/702252/grenzwert-lim-limits-n-to-infty-frac-5x-1-x-2-5-2n-1?show=702264

Leider wurde jedoch nicht beantwortet, wie man eben auf die entsprechenden werte 2, 3, -1, -4 kommen soll

Answer 1

Lösen wir mal die Gleichung

(5·x - 1)/(x^2 + 5) = 1
5·x - 1 = x^2 + 5
0 = x^2 - 5·x + 6
x^2 - 5·x + 6 = 0
(x - 2)·(x - 3) = 0
x = 2 ∨ x = 3

Probierst du das jetzt mal für

(5·x - 1)/(x^2 + 5) = -1

Solltest du Schwierigkeiten haben dann probier mal die App Photomath. Die Hilft beim Lösen von Gleichungen.

Achte außerdem darauf das der Exponent in deinem Fall immer eine ungerade natürliche Zahl ist.

Comments

Hah ... da hab ich mich tatsächlich verrechnet bei dem Ansatz (x2 - 5·x + 5 hatte ich am ende raus für die Gleichung), Dankeschön! Teil eins ist damit tatsächlich ziemlich einfach lösbar ... und es ist mir fast schon peinlich die frage jetzt gestellt zu haben ^^'

Was ist denn mit dem zweiten teil, der Differenzierbarkeit?
Ein konkreter Ansatz würde mir vmtl. reichen um hier voran zu kommen.

Vielen Dank für deine Zeit.

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Ist beim 2. Teil wirklich der Grenzwert in Abhängigkeit von x gemeint? Wäre der überhaupt stetig? Oder hast du in Teil 1 Vereinfachungen vorgenommen und geht es in Teil 2 auch nur um den Termwert in Abhängigkeit von x.

Letzteres wäre stetig und differenzierbar.

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Ist in der speziellen Aufgabe leider nicht spezifiziert. Es wird lediglich gefragt ob Teil 1 differenzierbar ist oder nicht.
Die Aufgabe in Teil 1 ist so wie obig hingeschrieben:
\( \lim\limits_{n\to\infty}\) \( \frac{5x-1}{x^2+5}^{2n+1} \) x∈ℝ,n∈ℕ

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Dann hätte ich geschrieben das der Grenzwert in Abhängigkeit von x nicht mal stetig ist und damit auch nicht differenzierbar ist.