Question

Zeigen Sie, dass durch die Gleichung f(x, y, z) = 0 in der Umgebung des Punktes p = (x₀, y₀, z₀) eindeutig eine
Funktion g(x, y) mit z = g(x, y) ⇐⇒ f(x, y, z) = 0 bestimmt ist. Bestimmen Sie das Taylorpolynom k-ten
Grades von g.
(a) f(x, y, z) = z⁴ − x²z + 2yz + 2y², p = (1, −1, 1), k = 2
(b) f(x, y, z) = z³ + 3xyz = 1, p = (0, 1, 1), k = 1
(c) f(x, y, z) = 2 ^{\( \frac{x}{z} \)} + 2yz = 8, p = (2, 2, 1), k = 1

Ich habe diese Aufgabe zu lösen. Aufgabe a und c habe ich selbstständig hin bekommen. Bei b hänge ich irgendwie komplett. Könntet ihr mir bitte helfen?

Answer 1

Hallo,

es handelt sich hier um einen Anwendung des Satzes über implizite Funktionen. In der b) wollen wir zeigen, dass sich \(z^3+3xyz-1=0\) in einer Umgebung des Punktes \((0,1,1)\) lokal auflösen lässt und diese Auflösungsfunktion dann über ein Taylorpolynom ersten Grades approximieren.

Wir halten fest:

• \(f(0,1,1)=0\)

•  \(\mathbb{R}^3\) ist offen und konvex

•  \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)\) als Polynomfunktion

Zunächst berechnet man den Gradienten in \((0,1,1)\). Es gilt \(\operatorname{grad}f(0,1,1)=(3, 0,3)^T\). Damit ist nach dem Satz über implizite Funktionen die Auflösbarkeit nach \(x\) oder \(z\) gegeben. Es gibt also \(\varepsilon, \delta >0\) und eine \(C^1\)-Auflösungsfunktion \(\varphi : B_{\varepsilon}(1,1)\to B_{\delta}(0)\), derart, dass \(x=\varphi(y,z)\).

Das Taylorpolynom ersten Grades ist gegeben durch $$T_1 \varphi(x;(0,1,1))= \varphi(0,1,1)+\operatorname{grad}  \varphi(0,1,1)^T(x-(0,1,1)),$$ wobei der \(\operatorname{grad}  \varphi(0,1,1)\) unter Verwendung der mehrdimensionalen Kettenregel, angewendet auf \(f(\varphi(y,z),y,z))\) erfolgt.