Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene e im Punkt P0 (x0, y0, z0) von F.

Question

Aufgabe:

24. (Extrema mit NB) Gegeben ist ist die Fläche F : x2 + 18y2 + z2 = 1
a) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene e im Punkt P0 (x0, y0, z0) von F.
b) Wie muss man P0 im 1. Oktanten wählen, damit die Summe der Achsenabschnitte von e möglichst klein wird?

Problem/Ansatz:

Für die Ebene habe ich 2x0 x - 2x0 ^2 + (1/4) y0y - 1/4 y0 ^2 + 2 z0 z - 2z0 ^2 = 0

Wie gehe ich nun an die b ran?

HAuptbedingung seien minimale Werte für x,y,z und Nebebndbingun, dass der Punkt auf der Hülle des Ellipsoids liegt, also die Ausgangsfunktion. Ich komme nur nicht auf die Funktion für die Hauptbedingung und habe auch keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.

Vielen Dank an alle die helfen können :,)

Answer 1

Hallo,

die Summe \(S\) der Achsenabschnitte für einen Punkt \(P\) ist doch $$S = x+y+z \min \quad x,y,z \ge 0$$das sollminimiert werden, Und weil \(P\) im ersten Quadranten liegt darf keine der Koordinaten negativ sein. Die Nebenbedingung ist$$x^2 + \frac 18y^2 + z^2 = 1 $$ (1/8 ist richtig - oder?) Dann stelle die Lagrangegleichung auf$$L(x,y,z,\lambda) = x+y+z + \lambda(x^2 + \frac 18y^2 + z^2 - 1)$$leite diese nach den Koordinaten ab und setze die Ableitungen zu 0$$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac 14y +\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2z + \lambda = 0 \\ \implies x=z=\frac 18y$$Das setzt man wieder in die Nebenbedingung ein:$$x^2 + 8 x^2 + x^2 = 1 \implies x=z = \sqrt{\frac{1}{10}}, \quad y = 8 \sqrt{\frac 1{10}}$$