Hallo,
es handelt sich hier um einen Anwendung des Satzes über implizite Funktionen. In der b) wollen wir zeigen, dass sich \(z^3+3xyz-1=0\) in einer Umgebung des Punktes \((0,1,1)\) lokal auflösen lässt und diese Auflösungsfunktion dann über ein Taylorpolynom ersten Grades approximieren.
Wir halten fest:
• \(f(0,1,1)=0\)
• \(\mathbb{R}^3\) ist offen und konvex
• \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)\) als Polynomfunktion
Zunächst berechnet man den Gradienten in \((0,1,1)\). Es gilt \(\operatorname{grad}f(0,1,1)=(3, 0,3)^T\). Damit ist nach dem Satz über implizite Funktionen die Auflösbarkeit nach \(x\) oder \(z\) gegeben. Es gibt also \(\varepsilon, \delta >0\) und eine \(C^1\)-Auflösungsfunktion \(\varphi : B_{\varepsilon}(1,1)\to B_{\delta}(0)\), derart, dass \(x=\varphi(y,z)\).
Das Taylorpolynom ersten Grades ist gegeben durch $$T_1 \varphi(x;(0,1,1))= \varphi(0,1,1)+\operatorname{grad} \varphi(0,1,1)^T(x-(0,1,1)),$$ wobei der \(\operatorname{grad} \varphi(0,1,1)\) unter Verwendung der mehrdimensionalen Kettenregel, angewendet auf \(f(\varphi(y,z),y,z))\) erfolgt.