Rechnung mit komplexen Zahlen

Question

Wie genau würde man (1/2+(√3/2)i)¹⁰⁰ berechnen?

Ich dachte eventuell mit Polardarstellung, aber weiß nicht wirklich, wie die anzuwenden ist, da das Thema sehr neu für mich ist.

Comments

Sieht so deine Aufgabe aus?

\( (\frac{1}{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot i)^{100} \)

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Ja genau, tut mir leid, ich weiß nicht so recht, wie man die Symbole hier nutzt

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist \(\,z^{100}\,\) mit \(\,z\coloneqq\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\,i\)

Es fällt sofort auf, dass \(|z|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\) gilt.

Daher liegt die Vermutung nahe, dass eine kleine Potenz von \(z\) die reele Zahl \((\pm1)\) ergibt.

Und tatsächlich ergibt$$z^3=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\,i\right)^3=\left(\frac12\right)^3+3\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}i+3\cdot\frac12\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}i\right)^3$$$$\phantom{z^3}=\frac18+\frac{3\sqrt3}{8}\,i+\frac{9}{8}\,i^2+\frac{3\sqrt3}{8}\,i^3\stackrel{(i^2=-1)}{=}\frac18+\frac{3\sqrt3}{8}\,i-\frac98-\frac{3\sqrt3}{8}\,i=-1$$

Damit sind wir fertig:$$z^{100}=z^{99}\cdot z=(z^3)^{33}\cdot z=(-1)^{33}\cdot z=-z=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\,i$$

Answer 2

Potenziere erst mit 3, dann mit 6 und schließlich mit 96. Dann bist du sehr schnell fertig.

Answer 3

Nutze die Darstellung \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\). Dabei ist \(r=|z|\) und \(\varphi=\arg(z)\). Da solltest du genau in den Unterlagen nachsehen, wie ihr \(\arg\) definiert habt.