Ortslinie des Mittelpunkts einer rutschenden Leiter.

Question

Aufgabe:

Beweise welche Form die Ortslinie des Leitermittelpunktes der „rutschenden Leiter“ annimmt.

Problem/Ansatz:

Komme bei diesem Beweis einfach nicht weiter! Hat jemand vielleicht eine Idee?

Text erkannt:

\( 1 \)

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo Gabriel,

https://www.desmos.com/calculator/e6qwr2ksld

was kannst Du zu den beiden rechtwinkligen Dreiecken \(\triangle OM'M\) (gelb) und \(\triangle M'AM\) (grün) sagen? Und was schließt Du daraus für die Länge der Strecke \(OM\)?

Comments

Die Dreiecke sind kongruent, aber wie kann ich das in dem Beweis verwenden?

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Die Dreiecke sind kongruent und rechtwinklig. Sie haben alle die gleiche Hypotenusenlänge c. Also ist x²+y²=c²: Für festes c liegen die Punkte (x|y) auf einem Kreis um (0|0).

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Die Dreiecke sind kongruent, aber wie kann ich das in dem Beweis verwenden?

Ja sicher! Und wenn sie kongruent sind, sind ihre Seiten paarweise gleich lang. Wo ist denn das Pendant im grünen Dreieck zur Seite \(OM\) des gelben Dreiecks?

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Das wäre ja die Strecke l MA l

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Das wäre ja die Strecke l MA l

Richtig! Und wenn Du jetzt noch den Beweis formulieren kannst, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, bist Du fertig.

(Falls nicht, frage nach ;-) )

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Btw.: man hätte auch einfach die Umkehrung des Satzes des Thales nutzen können. Es kommt ja immer drauf an, was vorausgesetzt werden kann.

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Danke dir! Was sagst du denn zu dem Beweis, der unten veröffentlicht wurde?

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Was sagst du denn zu dem Beweis, der unten veröffentlicht wurde?

Das ist auch ok. Es gibt ja noch weitere Beweise. Wie schon gesagt: es kommt drauf an, was man voraussetzen darf. Mit dem Satz des Thales ist es am einfachsten:

Umkehrung des Satzes des Thales -> fertig!

Weitere Beweise findest Du hinter dem Link oben auf die Wiki-Seite. Du kannst jeden Beweis für dem Satz des Thales auch hier benutzen.

PS.: studierst Du auf Lehramt?

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.... rechtwinkligen Dreiecken \(\triangle OM'M\) (gelb) und \(\triangle M'AM\)

Beim Vergleich kongruenter Dreiecke würde ich sehr empfehlen, die Reihenfolge der Notation der Kongruenzbeziehung anzupassen, hier also etwa:

        Dreiecke  \(\triangle OMM'\) und \(\triangle AMM'\)

Answer 2

Sei L die Länge der Leiter und (x,0) der Fußpunkt der Leiter der von x =0..L rutscht.

Dann gilt für den zugehörigen Anlehnpunkt (0,y) wegen Pythagoras

\(x^2+y^2 = L^2 \quad (1)\)

Wegen des Strahlensatzes haben wir für den Mittelpunkt \((x_M,y_M)\) der Leiter:

\(x_M = \frac 12 x,\: y_M = \frac 12 y\)

Einsetzen in (1) ergibt:

\(x_M^2 + y_M^2 = \frac 14 L^2\)

Für \(x \in [0,L]\) erhalten wir \(x_M \in [0,\frac L2]\). Damit haben wir einen Viertelkreisbogen mit Radius \(\frac L2\) im 1. Quadranten.

Answer 3

Satz des Thales: Ein Dreieck aus den Endpunkten einer Strecke und einem Punkt des Halbkreises über dieser Strecke ist immer rechtwinklig.

Die Umkehrung besagt ist ein Dreieck rechtwinklig, dann liegt der rechte Winkel auf dem Halbkreis über der Hypotenuse und damit ist der Punkt an dem der rechte Winkel entsteht immer gleich weit vom Mittelpunkt der Hypotenuse entfernt.

Daher bildet der Mittelpunkt der Hypotenuse hier einen Viertelkreis.

Comments

Alles schon x-mal dran gewesen, zuletzt hier.

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Danke. Dann schließe ich die Frage hier mal.