Basis und Unterräume

Question

Aufgabe: Guten Abend,

Ich hätte noch eine wichtige Frage:

(Vorab, wäre ich Ihnen echt sehr dankbar, wenn Sie mir geantwortet haben und dann nach 1 Tag spätestens meine Frage löschen würden).

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Der Satz war: Es sind Z1,…,Zm aus R^n

& Z = Lin(Z1,…,Zm) (Lin steht für lineare Hülle) und D1,…Dn aus U (Element von U).

Es gelte n < m.

Zeige, das ein c existiert aus den natürlichen Zahlen und das wenn Dn+1,…,Dc (n < c) aus {Z1,…,Zm} ist, das dann D1,…Dc eine Basis von Z ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war: Zuerst einmal wissen wir, das Z1,…,Zm eine erzeugende Basis von Z ist, da ja Z = Lin(Z1,…,Zm) gilt. Desweiteren soll das System D1,…Dn aus Z sein und auch linear unabhängig sein. Daher wird impliziert, das {Z1,…,Zm} die Basis von Z und {D1,…,Dn} die linear unabhängigen Vektoren aus Z sind. Demnach gilt ja n < m und somit auch Lin(D1,…,Dn) Teilmenge von Lin(Z1,…,Zm) = Z.

Falls n = m gilt, so ist D1,..,Dn schon bereits eine Basis von Z & man ist fertig.

Doch andernfalls, wenn n < m gilt, so gilt auch Lin(D1,..,Dn) ist eine echte Teilmenge von Z. Daher erzeugen also die Linearkombinationen von D1,…,Dn nur ein Teil von Z.

Nach dem Basisergänzungsprinzip, darf man zu den vorhandenen Basen, linaer unabhängige (zu sich selbst auch) ergänzen. Demnach muss bei den Vektoren, die ergänzt werden, die lineare Unabhängigkeit gelten und sie müssen in Z liegen, so wie erzeugend sein. Demnach gelte bei den restlichen Di (i = n + 1,..,s) Element von {Z1,..,Zm}, da ja diese Menge schon linear unabhängig und erzeugend ist, so wie auch in Z liegt.

Nach ungefähr c - (n + 1) Schritten hat man den Unterraum Zc erzeugt mit den Basen D1,…,Dn, Dn+1,…,Dc aus Z. Da aber ja schon ursprünglich Z1,…,Zm den Unterraum Z erzeugt und dessen Basis ist, muss natürlich auch n + c < (oder =) m gelten. Nach c < (oder gleich) m - n Schritten hat man dann Z erzeugt und es gilt Z = Zc. Also ist D1,…,Dc eine Basis von Z.

Wäre dieser Ansatz korrekt, um den Satz zu beweisen. (Falls nicht, bitte keine Lösung vorgeben, nur meinen Ansatz, wenn dann kritisieren).

Danke im voraus! :)

Mit freundlichen Grüßen…

Comments

Tut mir leid, das das nicht kürzer ging

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Da sollte an der einen Stelle, anstatt U, das Z stehen…

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Ich verstehe diese Aufgabe nicht wirklich.

Zum Beispiel hast Du n in doppelter Bedeutung verwendet: Als Dimension des Grundraums R^n und als Anzahl der D-Vektoren - oder?

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Achso ja, dieses n bei D1,..,Dn ist nicht das gleiche wie bei R^n. Man könnte bei D1,..,Dn  auch einen anderen Buchstaben nehmen.

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Nächste Frage: Sollten die D1, ... Dn nicht linear unabhängig sein?

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Ja D1,…,Dn ist linear unabhängig, stand bei der Aufgabe. Hab es vergessen dahin zu schreiben.

Also die Aufgabenstellung nochmal korrekt war ( hab jetzt nochmal n als Index genommen, aber wie gesagt das mot R^n ist was anderes)

Z1,…,Zm ist ein linear unabhängiges System von Vektoren und es gilt Z = Lin(Z1,..,Zm). D1,..,D(n) ist aus Z und linear unabhängig. Es gelte (n) < m oder (n) = m. (Also kleiner-gleich).

Zeige, das es ein c gibt und das D(n)+1,…,Dc aus {Z1,…,Zm} ist, wodurch D1,…,Dc eine Basis von Z ist.

Mein Ansatz: s.o.

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Dann ist es doch einfach der Basis-Ergänzungssatz oder

PS: Bin jetzt weg.

Answer 1

Hallo

Was soll der Satz"wenn Sie mir geantwortet haben und dann nach 1 Tag spätestens meine Frage löschen würden"

hier werden Antworten nicht gelöscht, warum auch ? spätere user haben manchmal noch was davon. Und du willst ja Antworten hier wohl nicht als eigene Leistung verkaufen?

erstmal Z1,…,Zm  mit m>n sind keine Basis, eine Basis ist die Minimalzahl von Vektoren die den R^n erzeigen, also höchstens n Vektoren, wenn Z=R^n ist

Dagegen bilden die Di eine Basis des R^n , wenn sie Lin unabhängig sind.

die Aufgabe ist eigenartig formuliert, als wäre es nicht der Originaltext sondern dein Interpretation  bitte poste die Originalaufgabe wenn man darauf antworten soll

lul

Comments

Hallo,

Zuerst zu meiner Ansage:

Tut mir erstmal leid, wenn meine Ansage missverständlich rüberkam. Ich meinte, das nur, weil ich mir nicht sicher war, ob ich das hier posten darf. Aber es scheint alles ok zu sein.

Nun zum Inhaltlichem:

Ich würde gerne mein ersten Fragekommentar bearbeiten, um da die kleinen Fehler zu korrigieren, geht aber leider nicht.

Ich mache es jetzt alles hier:

Erster Fehler:

Das n bei D1,…,Dn, ist hier nicht gleich dem n bei R^n, ich habe da einfach ausversehen zwei gleiche Namen genommen, welche unterschiedlich sind. Ich werde ab jetzt diese beiden mit der Notation ,,(n)‘‘ bei dem System D1,…,D(n) und ,,n‘‘ bei R^n, unterscheiden, also (n) ≠ n.

Zweiter Fehler: Ich habe da einmal ausversehn U geschrieben, aber da sollte Z stehen.

(Ignorieren Sie die Aufgabenstellung von zuvor, denn ich schreibe diese jetzt hier nochmal hin)

Augabe: Z1,..,Zm aus R^n sind Vektoren, Z = Lin(Z1,…,Zm). D1,…,D(n) sind aus Z. Es gelte (n) < (oder =) m. Zeige, das ein s aus N (natürlichen Zahlen) gibt und das D(n)+1,…,Ds aus {Z1,…,Zm} ist, wodurch D1,…,Ds eine Basis von Z ist.

Mein Ansatz: s.o. bei meinem erstgeschriebenen Fragekommentar (natürlich, da auch die Unterscheidung mit (n) und n, nur das das ja da jetzt nicht steht.)

Es tut mir nochmal leid, für das Durcheinander.

Liebe Grüsse…

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Kleine Anmerkung noch: Bei der Aufgabenstellung, der letzte Satz, war ja: Zeige das es ein s aus N (natürliche Zahlen) gibt …

Sehe hab in meinem Ansatz, für s, c verwendet. Das ist das gleiche, also s = c.