Die Drehgruppe \(\operatorname{SO}(3,\mathbb{R})\) operiert transitiv auf der \(2\)-Sphäre \(S^2\), wenn zu je zwei \(x,y\in S^2\) gilt, dass ein \(D\in\operatorname{SO}(3,\mathbb{R})\) existiert, sodass \(Ax=y\).
Man kann das Problem umformulieren: Zeige, dass die Bahn eines Punktes auf \(S^2\) die Sphäre selbst ist.
Wähle z. B. \(e_1=(1,0,0)\in S^2\). Wenn du eine Drehmatrix \(A\) findest, so dass \(Ae_1=x\) für alle \(x\in S^2\), bist du fertig.
\(Ae_1\) spricht gerade die erste Spalte an; der erste Spaltenvektor ist also \(x\). Um die restlichen Spalten zu bestimmen, nehme zwei Vektoren auf der Sphäre, die orthogonal zueinander und zu \(x\) sind. Das kannst du mit dem Kreuzprodukt bewerkstelligen, nehme erst \(e_1\times x\) und normalisiere den Vektor (=> Definition der Drehmatrix), nenne ihn \(y\) und nimm dann \(x\times y\) normalisiert als letzten Vektor; sagen wir \(z\). Du musst dann noch die Determinante auf \(+1\) bringen. Es gilt hier erstmal nur \(\det(x,y,z)=\pm 1\).
Man kann aber entsprechend immer \(x,y,z\) permutieren, so dass entweder \(A=(x,y,z)\) oder \(A=(x,z,y)\). Du kannst die Matrix auch selbst konstruieren. Das ist quasi ein konstruktiver Beweis.
