Rotationsflächen: Parametrisierung der Mantelfläche und Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Geben Sie jeweils eine Parametrisierung der Mantelfläche des Rotationskörpers um die x3-Achse an und berechnen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche.

Text erkannt:

\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c}4+2 \cos (t) \\ 0 \\ 2 \sin (t)\end{array}\right) \quad t \in[0,2 \pi) \)

Moin, ich sitze gerade an der Aufgabe und komme leider nicht weiter. Wie berechne ich diese Aufgabe?

Answer 1

R_z =  Rotation um z-Achse

\(\Gamma(t,\alpha) = R_z \cdot \gamma(t), \quad \alpha=0...2\pi, t=-6...6 \)

Oberflächen Integral

https://www.geogebra.org/m/qrtzzddp

Comments

Danke für die Antwort. Hast du vielleicht auch eine Idee wie eine "Handwerkliche" Lösung bzw. Lösungsweg aussehen könnte bzgl. Kurvenintegral 1. und 2. Art z.B.?

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Du hast ja die verlinken Artikel verdammt schnell durch gearbeitet ;-)...

z.B.

\( \Gamma_{du} \otimes \Gamma_{dv} =4 \; \operatorname{cos} \left( u \right) + 8\) 

\(\int\limits_{0}^{2 \; \pi }\int\limits_{0}^{2 \; \pi }4 \; \operatorname{cos} \left( u \right) + 8\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\)

Answer 2

Hallo

ist dir klar, dass die Kurve ein Kreis mit radius 3 in der Ebene y=0 mit Mittelpunkt (4,0,0) ist.

diese Kreis rotiert um die z Achse und due erhältst einen Torus. überlege wie du deinen Punkt des Kreises um die z-Achse parametrisiertst und wende das auf den ganzen Kreis an.

Gruß lul

Comments

Das Ganze kann ich mir vorstellen, mir war auch sofort klar, das es sich um einen Torus oder im Volksmund "Donut" handelt. Nur fehlt mir ein Lösungsweg. Ich geh mal davon aus, das man es mit einem Oberflächenintegral 1. oder 2. Art berechnet, allerdings weiß ich nicht welches von beiden bzw. wie da die Lösungsschritte aussehen/versteh es aktuell nicht so ganz.

verzweifelter Gruß :)