Wie lauten mögliche Beispiele für solche Menge in der Relativtopologie?

Question

Aufgabe:

Seit T_y die Relativtopologie oder Unterraumtopologie, (X, T_x) topologischer Raum und Y⊂X, Y=[0,1) und X=ℝ

Gesucht ist eine Menge K ⊂ Y an, die offen in Y ist, K ∈ T_y, aber nicht offen in X.

Zudem eine Menge L ⊂ Y, die abgeschlossen in Y ist, aber
nicht abgeschlossen in X

Answer 1

$[0,1/2)$ ist offen bzgl. der Relativtopologie auf $Y$, aber nicht in $X$.

$[0.5,1)$ ist abgeschlossen in $Y$, aber nicht in $X$.

Comments

Danke erstmal für die Antwort, kannst du erklären warum, um dies nachvollziehen zu können?

---

Als halboffenes Intervall in $\mathbb{R}$ ist $[0,1/2)$ weder offen noch abgeschlossen. In $[0,1)$ (selbst ein halboffenes Intervall), ist es eine offene Menge. Das kannst du mit der Definition verifizieren.

$[0.5,1)$ ist auch ein halboffenes Intervall in $\mathbb{R}$. Es ist in $[0,1)$ aber abgeschlossen, da $Y$ "auf der einen Seite unberandet" ist und somit nicht "detektiert" wird, dass es "halboffen" ist.