Also der Beweis beginnt damit \( z \in U \cap V \) zu wählen (es ist also ein Widerspruchsbeweis).
Da \( z \) in \( U \) und \( V \) liegt existieren also \( x \in A \), \( y \in B \) mit \( z \in U_x \) und \( z \in V_y \).
Ich denke das war klar.
d (x,z) muss kleiner als r sein: aber warum? x ist ja Element von C1, somit auch von U und z ist auch Element von U. Bedeutet das der Abstand muss kleiner als r sein, da Ux ja gerade die Vereinigung der Bälle/Kugeln um x ist, und somit kein Punkt weiter als r entfernt sein kann? und wieso nicht kleiner gleich? weil es eine offene Kugel ist und keine geschlossene, daher muss r rausgenommen werden
\( U_x \) ist per Definition der offene Ball mit Radius \( r := \frac{d_x}{3} = \frac{d(x,B)}{3} \). D.h.
$$ U_x = \left\{ w ~\middle|~ d(x,w) < \frac{d(x,B)}{3} \right\} $$
Da \( z \in U_x \) muss also auch \( d(x,z) < r \) sein.
d (y,z) muss kleiner als s sein: selbes Prinzip wie oben drüber
Ja ist dasselbe Prinzip. da \( z \in V_y \) ist \( d(x,z) < s := \frac{d(y,A)}{3} \)
Denn \( U_y \) ist der offene Ball mit Radius \( s \) um \( y \).
Nun geht es weiter mit der Annahme das r größer gleich s sein muss, aber wieso wird dies angenommen?
Um später den Widerspruch zu erhalten. Du könntest hier auch die Beiden Fälle \( r \ge s \) und \( r < s \) unterscheiden. Aber das Beweisargument ist in beiden Fällen identisch. Deshalb kann man ohne Einschränkung einfach \( r \ge s \) annehmen.
3r = d(x,c2) ≤ d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) < r+s ≤ 2r
Du hast hier ein r vergessen.
Die erste Gleichheit ist einfach die Definition von r
$$ 3r = d(x,B) \le d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < r + s \le r + r = 2r $$
Da \( y \in B \) ist \( d(x,B) \le d(x,y) \). Der Abstand zur Menge ist ja der kleinstmögliche Abstand wenn du so willst. Da y ein Element der Menge ist, ist der Abstand zwischen x und y sicherlich mindestens so groß wie der Abstand von x zur gesamten Menge B (es könnten Punkte in B liegen die noch näher sind).
da verstehe ich nicht ganz, wieso r+s ≤ 2r sein soll. Liegt das darin das r ≥ s gewählt wird und wenn s ja gleich r ist, kann man dies zusammenzählen und erhält 2r?
Ja genau. Man schätzt das \( s \) nach oben durch \( r \) ab. Das geht halt weil wir den Fall \( r \ge s \) betrachten.
Im anderen Fall \( r < s \) würdest du die folgende Ungleichungskette betrachten:
$$ 3s = d(y,A) \le d(y,x) \le d(y,z) + d(z,x) < s + r < s + s = 2s $$
wieso genau zeigt mir die Erkenntnis 3r ≤ 2r jetzt, dass der Schnitt leer ist?
Da \( r > 0 \) kannst du beide Seiten durch \( r \) teilen und das Kleiner-Gleich dreht sich nicht um.
$$ 3r < 2r \implies 3 < 2 $$ und das ist ein klarer Widerpsruch, denn \( 3 \ge 2 \). Also muss die Annahme, dass ein \( z \in U \cap V \) existiert falsch sein. Und wenn keine Elemente im Schnitt existieren ist er wohl leer.
