Beweis Topologischer Raum

Question

Aufgabe:

Sei \( (X, \mathcal{T}) \) ein topologischer Raum und \( Y \subset X \). Zeigen Sie:
a) \( \stackrel{\circ}{Y}=\cup\{U: U \subset Y \) und \( U \) offen in \( X\} \)
b) \( \bar{Y}=\bigcap\{A: A \supset Y \) und \( A \) abgeschlossen in \( X\} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe wirklich nicht, wie ich diese aufgabe bearbeiten soll, ich verstehe noch nicht mal die Notation...

Comments

ich verstehe noch nicht mal die Notation...

Dann wäre es schlau diesen Punkt zuerst zu klären. Dazu einfach einen Blick in deine Vorlesungsnotizen oder ein beliebiges Skript oder Lehrbuch, welches eine Einführung in die Topologie behandelt, werfen.

Answer 1

\( \stackrel{\circ}{Y}=\cup\{U: U \subset Y \) und \( U \) offen in \( X\} \)

Das heißt in Worten: Das Innere von Y ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen von Y.

Zeige also: Wenn a aus dem Inneren von X, dann gibt es eine offene Teilmenge von Y,

die a enthält.

Und umgekehrt: Wenn a in einer offenen Teilmenge von Y liegt, dann ist na auch im inneren von Y.

und das zweite:

Der Abschluss von Y ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von Y.

Comments

Vielen dank, nur verstehe ich leider nicht wie ich das zeigen soll...

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Gehe auf die Definition zurück. Das Innere von Y ist vermutlich als die

Menge aller inneren Punkte von Y definiert.

Und ein innerer Punkt a ist einer, zu dem es eine Umgebung gibt, die

ganz in Y liegt, also eine offene Menge, die a enthält.

Damit hat du den ersten Teil der ersten Gleichung schon gezeigt.

Sollte man wohl noch was formalisieren, also etwa so:

Sei a ∈ \( \stackrel{\circ}{Y}\).

==>  Es gibt eine Umgebung von a, die ganz in Y liegt.

==> Es gibt ein U offen in X mit a ∈ U und U⊆Y

==> a ∈  \( \cup\{U: U \subset Y \) und \( U \) offen in \( X\} \)

Dann die andere Richtung.

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Danke, ich versuche es mal