Beispiele für einen normalen Raum

Question

ich bin auf der Suche nach einen Beispiel eines normalen Raumes und die Begründung, wieso dieser Raum normal ist :)

normaler raum: punktfremde abgeschlossene Mengen lassen sich durch offene Mengen trennen

Text erkannt:

punktfremde abgeschlossene Mengen lassen sich durch offene
Mengen trennen

Comments

Jeder metrische Raum ist z.B. normal.

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Aber wieso sind alle metrische Räume normal?

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In einem metrischen Raum (X,d) kannst du den Abstand von einem Punkt zu einer Menge betrachten. Ist \( M \subseteq X \) eine Teilmenge und \( x \in X \) dann setzt man

$$ d(x, M) := \inf \{ d(x,y) ~|~ y \in M \} $$

Du weißt sicherlich, dass Metriken die Eigenschaft \( d(x,y) = 0 \iff x = 0 \) erfüllen. Falls \( x \in M \) ist also \( d(x,M) = 0 \). Was passiert aber falls \( x \in M^c \) ist? Naja, dann kann der Abstand \( d(x,M) \) trotzdem 0 sein. Das passiert genau dann wenn man eine Folge \( (y_n)_{n\in \mathbb N} \) in \( M \) findet, s.d. \( y_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} x \). Aber das heißt, dass sich dann \( x \) im Abschluss von \( M \) befinden muss.

Also gilt \( d(x,M) = 0 \iff x \in \overline M \).

Wenn du nun zwei disjunkte abgeschlossene Mengen \( A, B \subseteq X \) betrachtest. Dann kannst du z.B. für alle \( a \in A \) den Abstand \( d(a,B) \) betrachten. Und der wird stets größer als 0 sein. Warum?

Also kannst du dir für dieses \( a \in A \) mit \( d_a := d(a,B) \) stets eine offene Umgebung wählen, die disjunkt zu \( B \) ist. Z.b.

$$ U_a := B_{d_a / 3}(a) $$

also den offenen Ball mit Radius \( d_a / 3 \) um a.

Man erhält dann also eine offene Umgebung für ganz \( A \) indem man

$$ U := \bigcup_{a\in A} U_a $$

setzt. Warum ist \( U \) offen und \( A \subseteq U \)?

Analog findet man eine offene Umgebung

$$ V = \bigcup_{b\in B} V_b $$

von B.

Ich behaupte jetzt \( U \cap V = \emptyset \). Versuche das mal indirekt zu beweisen.

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- also zu ersten Frage, warum der Abstand d(a,B) immer größer null ist:

das folgt daher, da die Mengen A und B disjunkt sind, somit keinen Schnitt besitzen und somit der Abstand zwischen zwei Punkten immer größer null sein muss.

- Zu dem offenen Ball : der offene Ball ist ja dasselbe wie die offene Kugel, also einfach eine offene Umgebung (wenn man die Verneinung betrachtet) für A. Aber wieso wählt man genau diesen Radius um a, also da/3?

- U ist offen, da man U als Verneinung der offenen Mengen Ua darstellen kann. -> U ist als Verneinung der offenen Mengen Ua selbst wieder offen

- Wieso ist A Teilmenge von U? Naja das folgt ja aus der Definition für U, U wird definiert als die Verneinung der Ua, welche ja gerade die offene Umgebung für ganz A ist.

- es bleibt zu zeigen, dass der schnitt von U und V gleich der leeren Menge ist, bin ich gerade etwas überfragt, ich denke hierfür ist die Hausdorff-Eigenschaft des metrischen Raumes notwendig (und ausreichend?):

a∈U, b∈V und U∩V=∅, reicht das schon?

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noch eine kurze Anmerkung bzw. Frage : Ganz am Anfang wird der Abstand durch eine Menge " inf {... } gewählt, wie spricht sich das in Worten aus ? und wofür genau steht das inf?

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inf ist das Infimum. https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

- also zu ersten Frage, warum der Abstand d(a,B) immer größer null ist:

das folgt daher, da die Mengen A und B disjunkt sind, somit keinen Schnitt besitzen und somit der Abstand zwischen zwei Punkten immer größer null sein muss.

Ja aber da geht noch eine wichtige Eigenschaft von den beiden Mengen ein. Welche?

Wenn du z.B \( A= [-1,0] \) und \( B =(0,1] \) betrachtest. Dann sind diese Mengen auch disjunkt, aber für \(0\in A\) ist \( d(0,B)=0 \).

Aber wieso wählt man genau diesen Radius um a, also da/3?

Um später die Disjunktheit von U und V zu zeigen.

- U ist offen, da man U als Verneinung der offenen Mengen Ua darstellen kann. -> U ist als Verneinung der offenen Mengen Ua selbst wieder offen

Das ist richtig.

- Wieso ist A Teilmenge von U? Naja das folgt ja aus der Definition für U, U wird definiert als die Verneinung der Ua, welche ja gerade die offene Umgebung für ganz A ist.

Ua ist nicht die offene Umgebung von U sondern immer nur von einem fest gewählten a. Aber da du für jeden Punkt in A eine solche Umgebung hinzunimmst werden alle Punkte von A von der Vereinigung überdeckt.

- es bleibt zu zeigen, dass der schnitt von U und V gleich der leeren Menge ist, bin ich gerade etwas überfragt, ich denke hierfür ist die Hausdorff-Eigenschaft des metrischen Raumes notwendig (und ausreichend?):

Nein so einfach ist es nicht. Schau mal z.B. hier: https://math.stackexchange.com/questions/2872410/proof-that-every-metric-space-is-normal

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bei der ersten Frage, fehlt die Eigenschaft der Abgeschlossenheit

zu dem Link:

ich habe mir den Beweis nun mal angeschaut. Wenn ich es richtig verstehe :

r und s sind hier einfach die Radien der offenen Kugeln/Bälle.

d (x,z) muss kleiner als r sein: aber warum? x ist ja Element von C1, somit auch von U und z ist auch Element von U. Bedeutet das der Abstand muss kleiner als r sein, da Ux ja gerade die Vereinigung der Bälle/Kugeln um x ist, und somit kein Punkt weiter als r entfernt sein kann? und wieso nicht kleiner gleich? weil es eine offene Kugel ist und keine geschlossene, daher muss r rausgenommen werden

d (y,z) muss kleiner als s sein: selbes Prinzip wie oben drüber

Nun geht es weiter mit der Annahme das r größer gleich s sein muss, aber wieso wird dies angenommen?

Bei der Formel untendrunter also bei:

3 = d(x,c2) ≤ d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) < r+s ≤ 2r

wird einfach die der Radius r umgeformt, bis man auf 2 r kommt, da verstehe ich nicht ganz, wieso r+s ≤ 2r sein soll. Liegt das darin das r ≥ s gewählt wird und wenn s ja gleich r ist, kann man dies zusammenzählen und erhält 2r?

wieso genau zeigt mir die Erkenntnis 3r ≤ 2r jetzt, dass der Schnitt leer ist?

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Also der Beweis beginnt damit \( z \in U \cap V \) zu wählen (es ist also ein Widerspruchsbeweis).

Da \( z \) in \( U \) und \( V \) liegt existieren also \( x \in A \), \( y \in B \) mit \( z \in U_x \) und \( z \in V_y \).

Ich denke das war klar.

d (x,z) muss kleiner als r sein: aber warum? x ist ja Element von C1, somit auch von U und z ist auch Element von U. Bedeutet das der Abstand muss kleiner als r sein, da Ux ja gerade die Vereinigung der Bälle/Kugeln um x ist, und somit kein Punkt weiter als r entfernt sein kann? und wieso nicht kleiner gleich? weil es eine offene Kugel ist und keine geschlossene, daher muss r rausgenommen werden

\( U_x \) ist per Definition der offene Ball mit Radius \( r := \frac{d_x}{3} = \frac{d(x,B)}{3} \). D.h.

$$ U_x = \left\{ w ~\middle|~ d(x,w) < \frac{d(x,B)}{3} \right\} $$

Da \( z \in U_x \) muss also auch \( d(x,z) < r \) sein.

d (y,z) muss kleiner als s sein: selbes Prinzip wie oben drüber

Ja ist dasselbe Prinzip. da \( z \in V_y \) ist \( d(x,z) < s := \frac{d(y,A)}{3} \)
Denn \( U_y \) ist der offene Ball mit Radius \( s \) um \( y \).

Nun geht es weiter mit der Annahme das r größer gleich s sein muss, aber wieso wird dies angenommen?

Um später den Widerspruch zu erhalten. Du könntest hier auch die Beiden Fälle \( r \ge s \) und \( r < s \) unterscheiden. Aber das Beweisargument ist in beiden Fällen identisch. Deshalb kann man ohne Einschränkung einfach \( r \ge s \) annehmen.

3r = d(x,c2) ≤ d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) < r+s ≤ 2r

Du hast hier ein r vergessen.

Die erste Gleichheit ist einfach die Definition von r
$$ 3r = d(x,B) \le d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < r + s \le r + r = 2r $$
Da \( y \in B \) ist \( d(x,B) \le d(x,y) \). Der Abstand zur Menge ist ja der kleinstmögliche Abstand wenn du so willst. Da y ein Element der Menge ist, ist der Abstand zwischen x und y sicherlich mindestens so groß wie der Abstand von x zur gesamten Menge B (es könnten Punkte in B liegen die noch näher sind).

da verstehe ich nicht ganz, wieso r+s ≤ 2r sein soll. Liegt das darin das r ≥ s gewählt wird und wenn s ja gleich r ist, kann man dies zusammenzählen und erhält 2r?

Ja genau. Man schätzt das \( s \) nach oben durch \( r \) ab. Das geht halt weil wir den Fall \( r \ge s \) betrachten.

Im anderen Fall \( r < s \) würdest du die folgende Ungleichungskette betrachten:

$$ 3s = d(y,A) \le d(y,x) \le d(y,z) + d(z,x) < s + r < s + s = 2s $$

wieso genau zeigt mir die Erkenntnis 3r ≤ 2r jetzt, dass der Schnitt leer ist?

Da \( r > 0 \) kannst du beide Seiten durch \( r \) teilen und das Kleiner-Gleich dreht sich nicht um.
$$ 3r < 2r \implies 3 < 2 $$ und das ist ein klarer Widerpsruch, denn \( 3 \ge 2 \). Also muss die Annahme, dass ein \( z \in U \cap V \) existiert falsch sein. Und wenn keine Elemente im Schnitt existieren ist er wohl leer.