Hallo,
... und summe von k=1 bis n mit 1/2^(k-1) auf der links der gleichung.
diese Kleinigkeit hattest Du uns bisher ja verschwiegen!
Es soll also gezeigt werden, dass$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} = 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$
Induktionsanfang: \(n=1\) $$\sum\limits_{k=1}^{1}\frac{1}{2^{k-1}} \stackrel{?}{=} 2\left(1-\frac{1}{2^1}\right) \\ \implies \frac{1}{2^0}= 1 = 2\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1\space \checkmark$$Übergang von \(n\) auf \(n+1\)$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^{k-1}} &= \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^{n}} \\ &= 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right) + \frac{1}{2^{n}} &&|\,\text{nach Vor.} \\ &= 2 - \frac{2}{2^n}+ \frac{1}{2^{n}} \\ &= 2 - \frac{1}{2^{n}} \\&= 2 - \frac{2}{2^{n+1}} \\ &= 2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) \\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner