Zeigen Sie, dass dann auch

Question

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Aufgabe 3 (4. 3 Punkte).
(a) Sei $\emptyset \neq I$ eine abzählbare Indexmenge und für jedes $i \in I$ sei $M_{i}$ eine abzählbare Menge. Zeigen Sie, dass dann auch
$\bigcup_{i \in I} M_{i}$
abzählbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge aller Abbildungen $f: \mathbb{N} \rightarrow\{0,1\}$ überabzählbar ist. Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis für $\mathbb{R}$ inspirieren.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie: Die Menge aller endlichen Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist abzählbar.
(d) Zeigen Sie, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen überabzählbar ist. Hinweis: Konstruieren Sie eine Surjektion von $\operatorname{Pot}(\mathbb{N})$ in eine überabzählbare Menge.

Comments

Wie bei deiner anderen Aufgabe: nenne deine Versuche, Ergebnisse, Schwierigkeiten und schick nicht einfach eine Aufgabensammlung

Gruß lul

Answer 1

(a) Es gibt abzählbar viele Primzahlen und für alle n,m ∈ ℕ ist pⁿ ≠ q^m falls p,q verschiedene Primzahlen sind.

(b) Jedes $f$ ist eine Folge. Nimm eine Aufzählung von Folgen. Konstruiere eine Folge, die in dieser Aufzählung nicht vorkommt.

(c) Zeige dass für jedes $n$ die Menge aller $n$-elementigen Teilmengen abzählbar ist. Verwende dann (a).

(d) Das Intervall $[0,1]$ ist überabzählbar. Die Teilmenge $M\in \operatorname{Pot}(\mathbb{N})$ wird auf das $x\in [0,1]$ abgebildet, für das gilt:

        An der $n$-ten Nachkommastelle
        der Binärdarstellung von $x$ steht
        genau dann eine 1, wenn $n\in M$ ist.