Zeigen Sie, dass dann auch

Question

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Aufgabe 3 (4. 3 Punkte).
(a) Sei \( \emptyset \neq I \) eine abzählbare Indexmenge und für jedes \( i \in I \) sei \( M_{i} \) eine abzählbare Menge. Zeigen Sie, dass dann auch
\( \bigcup_{i \in I} M_{i} \)
abzählbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge aller Abbildungen \( f: \mathbb{N} \rightarrow\{0,1\} \) überabzählbar ist. Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis für \( \mathbb{R} \) inspirieren.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie: Die Menge aller endlichen Teilmengen von \( \mathbb{N} \) ist abzählbar.
(d) Zeigen Sie, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen überabzählbar ist. Hinweis: Konstruieren Sie eine Surjektion von \( \operatorname{Pot}(\mathbb{N}) \) in eine überabzählbare Menge.

Comments

Wie bei deiner anderen Aufgabe: nenne deine Versuche, Ergebnisse, Schwierigkeiten und schick nicht einfach eine Aufgabensammlung

Gruß lul

Answer 1

(a) Es gibt abzählbar viele Primzahlen und für alle n,m ∈ ℕ ist pⁿ ≠ q^m falls p,q verschiedene Primzahlen sind.

(b) Jedes \(f\) ist eine Folge. Nimm eine Aufzählung von Folgen. Konstruiere eine Folge, die in dieser Aufzählung nicht vorkommt.

(c) Zeige dass für jedes \(n\) die Menge aller \(n\)-elementigen Teilmengen abzählbar ist. Verwende dann (a).

(d) Das Intervall \([0,1]\) ist überabzählbar. Die Teilmenge \(M\in \operatorname{Pot}(\mathbb{N})\) wird auf das \(x\in [0,1]\) abgebildet, für das gilt:

        An der \(n\)-ten Nachkommastelle
        der Binärdarstellung von \(x\) steht
        genau dann eine 1, wenn \(n\in M\) ist.