Wie groß ist unter der Bedingung die Wahrscheinlichkeit?

Question

Hallo, ich habe bei Stochastik gerade bei einer Aufgabe einen kleinen Hänger.

und zwar geht es da um die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Lösung vom Lehrer habe ich bereits erhalten, jedoch verstehe ich die nicht.

Aufgabe: Jemand steht an einer Straße und wartet auf ein Taxi. Die Wartezeit W1 (in Minuten)
sei Geom(p = 0.2)-verteilt, d. h. P(W1 = k) = 0.2(1−0.2)k−1
für k = 1,2,...

Wie groß ist unter der Bedingung, dass nach genau 10 Minuten immer noch kein Taxi
angekommen ist, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie/er nochmals mehr als
5 Minuten warten muss?

Lösung: P(W₁ > 15 | W₁ > 10) =  \( \frac{P(W1 > 15∩W1 > 10)}{P(W1 > 10) } \)
 = \( \frac{P(W1 > 15)}{P(W1 > 10)} \)

= \( \frac{(1−p)¹⁴}{(1−p)⁹} \)
= 0.32768.

Und zwar hänge ich an der Stelle, wo die Brüche vereinfacht werden. P(W₁ > 15∩W₁ > 10) ist doch nichts anderes als P(W1>15)* P(W1>10) und das geteilt durch P(W1>10) müsste dann doch P(W1>15) sein.

Könnte mir das jemand erklären, wieso dass nicht so ist?

Answer 1

P(W1 > 15∩W1 > 10) ist doch nichts anderes als P(W1>15)* P(W1>10)

Das gilt nur bei Unabhängigkeit. Dann wäre aber die Aufgabe, eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, uninteressant.

Wenn \(W_1>15\) gilt natürlich auch \(W_1>10\) und deswegen ist \(P(W_1>15\cap W_1>10)=P(W_1>15)\).