Abbildungsmatrix Injektivität

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die lineare Abbildung f: R4 → R4
f(x1,x2,x3,x4)= (x1+x2,x2+x3, x1+2* x2+x3+x4, x1+x2+x4)

Geben Sie die Abbildungsmatrix A dieser Abbildung an! Ist f injektiv?
Begründen Sie ihre Antwort!

Problem/Ansatz:

Wie erstellt man eine Abbildungsmatrix und woran erkennt man die Injektivität?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x_1;x_2;x_3;x_4)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_1+2x_2+x_3+x_4\\x_1+x_2+x_4\end{pmatrix}$$$$\phantom{f(x_1;x_2;x_3;x_4)}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\2\\1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{f(x_1;x_2;x_3;x_4)}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$$

Injektiv bedeutet, das jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^4\) höchstens 1-mal getroffen wird.

Es gilt bei dieser Abbildung jedoch:$$f(0;0;0,0)=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad f(1;-1;1,0)=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Das Ziel-Element \((0;0;0;0)^T\) wird also mehr als 1-mal getroffen.

Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

Answer 2

Für die Abbildungsmatrix M muss gelten

\(    M \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_2+x_3+x_4\\x_1+x_2+x_4 \end{pmatrix} \)

Also \( M= \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&1\\1&1&0&1 \end{pmatrix} \)