Bestimmen Sie ein f ∈ R?

Question

Aufgabe:

Sei \( (\mathbb{R},+, \cdot) \) der Körper (bzw. Ring) der reellen Zahlen und \( [0,1]=\{x \in \mathbb{R}: 0 \leq \) \( x \leq 1\} \) das Intervall von 0 bis 1 .

Wir betrachten \( (R, \oplus, \odot) \), den Ring der stetigen Abbildungen von \( [0,1] \) in \( \mathbb{R} \), wobei
\( R=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { stetig }\} \)
und die Verknüpfungen \( \oplus: R \times R \rightarrow R \) und \( \odot: R \times R \rightarrow R \) wie folgt definiert sind: Für alle \( f, g \in R \) gilt
\( (f \oplus g)(x)=f(x)+g(x) \) und \( (f \odot g)(x)=f(x) \cdot g(x) \) für alle \( x \in[0,1] \).

Bestimmen Sie ein f ∈ R, welches ein Nullteiler ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

f:[0;1] → ℝ mit f(x)=0 für x≤0,5  und f(x)=x-0,5 für x>0,5

g:[0;1] → ℝ mit f(x)=0 für x>0,5  und f(x)=x-0,5 für x≤0,5 

sind beide nicht gleich 0,

wohl aber ihr Produkt.

Also beides Nullteiler.