Zeigen Sie, dass für alle x ∈ ℤ_{p}^{*} gilt: x^{p-1}=[1]_{p} und x^{p}=x .

Question

Sei \( p \in \mathbb{N} \) prim. Zeigen Sie, dass für alle \( x \in \mathbb{Z}_{p}^{*} \) gilt: \( x^{p-1}=[1]_{p} \) und \( x^{p}=x \).

Answer 1

Das lässt sich schnell mit dem Satz von Lagrange zeigen.

Im Weiteren rechnen wir modulo \(p\) und vermeiden hier nicht notwendige Schreibweisen wie \([1]_p\).

Wir wissen \(|\Z_p^\star| = p-1\).

Laut Satz von Lagrange gilt für \(x\in \Z_p^\star\):

\(\operatorname{ord}(x)\, |\, (p-1)\)

\(\operatorname{ord}(x)\) bezeichnet hier die multiplikative Ordnung von \(x\):

 \(x^{\operatorname{ord}(x)}\equiv_p 1\)

D.h.,

\(x^{p-1} \equiv_p x^{\operatorname{ord}(x)\cdot k}\equiv_p {\underbrace{\left(x^{\operatorname{ord}(x)}\right)}_{\equiv_p 1}}^k \equiv_p 1\)

Der zweite Teil der Behauptung ist jetzt trivial.

Answer 2

Wende den kleinen Satz von Fermat an und beachte, dass \(x\) ein inverses Element in \(\mathbb{Z}_p\) besitzt (Voraussetzung für Fermat). Das zweite Resultat erhält man durch Multiplikation mit \(x\) des ersten Resultats.