Gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck im Quadrat

Question

Hallo zusammen,

ich habe hier folgende bei Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiter komme:

Text erkannt:

Sei \( P \) ein Punkt innerhalb eines Quadrats \( A B C D \), sodass \( P A B \) ein gleichschenkliges Dreieck ist, dessen Basiswinkel bei \( A \) und \( B \) liegen und jeweils \( 15^{\circ} \) betragen. Zeigen Sie, dass \( P C D \) ein gleichseitiges Dreieck ist.

Ich habe versucht mir die Aussage erstmal Beispielhaft klarzumachen. Dafür habe ich mir das Ganze mal exemplarisch in GeoGebra zeichnen lassen (Zeichnung minimal ungenau (Der Winkel BPA sollten 150° sein)):

https://www.geogebra.org/classic/fykd7znu

Nach Voraussetzung habe ich ein gleichschenkliges Dreieck, das heißt der Punkt E ist Mittelpunkt der Strecke AB, genauso wie F Mittelpunkt von CD ist, wobei \(|AB|=|CD| \). Jetzt habe ich versucht irgendwie an die Höhe EP zu kommen, z.B. durch: \( \sin(15°) \cdot AP = EP \). Problematisch dabei ist natürlich, dass mir das Wissen über AP fehlt.

Wirklich hilfreiche Sätze in der Vorlesung finde ich auch nicht. Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie ich weitermachen könnte?

Comments

Sei a die Seitenlänge des Quadrats

k/(½a)=tan15°=2 - √3      (Das muss noch gezeigt werden.)

k=a-½a√3

--> j=½a√3

Damit ist j die Höhe im gleichseitigen Dreieck. Mit Pythagoras → PC=a=PD

Answer 1

Du kannst ja mal annehmen, dass die Behauptung stimmt und j ausrechnen.

Damit bekommst du k und kannst den Winkel ausrechnen. Ist er 15°, stimmt die Behauptung.

Answer 2

Das ist doch keine Aufgabe aus einer Mathematik-Vorlesung?

In der 8. Klasse kann man die Aufgabe so lösen: y=tan(15°)(x+1) schneidet die y-Achse in P(0|2-√3). Dann hat das Dreieck PCD die Höhe √3. Da es auch gleichschenklig ist und die Basis 2 hat, muss es gleichseitig sein.

Comments

Na ja - Du müsstest wahrscheinlich noch beweisen, dass \(\tan(15°) = 2-\sqrt{3}\) ist.

Die Schwierigkeit liegt hier wohl in der Beweisrichtung. Ist ein gleichseitges Dreieck \(PCD\) im Quadrat \(ABCD\) gegeben, so ist es relativ einfach zu zeigen, dass \(\angle BAP = 15°\) ist:

Der rote Winkel bei \(P\) (\(=30°\)) und \(\angle ADP\) sind Wechselwinkel und und daraus berechnet man die Basiswinkel (blau) im gleichschenkligen Dreieck \(APD\) (=\(75°\)).

Aber umgekehrt ist es dann doch nicht so trivial.