Was sind die Lösungen von z^3 = 1?

Question

Aufgabe:

Was sind die Lösungen von z^3 = 1?

Problem/Ansatz:

Ich hätte auf jeden Fall 1 gesagt, aber da steht, dass neben 1 auch \( \frac{-1}{2} \) + \( \frac{√3}{2} \)*i

und \( \frac{-1}{2} \) - \( \frac{√3}{2} \)*i Lösungen von z^3=1 ist.

Wie kommt man darauf?

Comments

Tipp: Die Gleichung z³ = 1 ist äquivalent zu 0 = z³ - 1 = (z - 1)·(z² + z + 1).

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Wozu Tipps geben, wenn es 5 mal gelöst wird?

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Der Tipp ist vermutlich vor der ersten Antwort gekommen.

Mit Tipps hilft man auch manchem Helfer bei der Lösung ;-(

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Offensichtlich...

Answer 1

\(z^3 - 1 = (z - 1)\cdot (z^2 + z + 1)=0\)

Satz vom Nullprodukt

\(z_1=1\)

\( z^2 + z + 1=0\)

\( z^2 + 1z =-1\)

\( (z + 0,5)^2 =-1+0,25=-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}i^2    |\sqrt{~~}\)

1.)

\( z + \frac{1}{2} =\sqrt{\frac{3}{4}i^2 }=\frac{i}{2}\cdot\sqrt{3}\)

\( z_2  =- \frac{1}{2}+\frac{i}{2}\cdot\sqrt{3}\)

2.)

\( z + \frac{1}{2} =-\frac{i}{2}\cdot\sqrt{3}\)

\( z_3  =- \frac{1}{2}-\frac{i}{2}\cdot\sqrt{3}\)

Comments

Danke! Kann man das auch schreiben als

1* \( e^{\frac{i*2*π}{3}} \) und  1* \( e^{\frac{i*4*π}{3}} \) ?

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Das weiß ich leider nicht.

Answer 2

z^3-1 = 0

z^3-1^3 = 0

vgl.

(a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

Verwende den Satz vom Nullprodukt.

Answer 3

Aloha :)

$$0=z^3-1=z^3\green{+z^2}\green{+z}\red{-z^2}\red{-z}-1=z(z^2+z+1)-(z^2+z+1)$$$$\phantom 0=(z-1)(z^2+z+1)=(z-1)\left(\left(z^2+z+\frac14\right)+\frac34\right)$$$$\phantom0=(z-1)\left(\left(z+\frac12\right)^2-\frac{3i^2}{4}\right)$$$$\phantom0=(z-1)\left(\left(z+\frac12\right)-\sqrt{\frac{3i^2}{4}}\right)\left(\left(z+\frac12\right)+\sqrt{\frac{3i^2}{4}}\right)$$$$\phantom0=(z-1)\left(z+\left(\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\right)\left(z+\left(\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)\right)$$

Wir lesen die 3 Lösungen der Gleichung \(\,z^3=1\,\) ab:$$z_1=1\quad;\quad z_2=-\frac{1-i\sqrt3}{2}\quad;\quad z_3=-\frac{1+i\sqrt3}{2}$$

Answer 4

Hallo,

Falls Ihr es über die allg. Formel berechnet hattet:

Comments

Sollen Antworten nicht als Text eingegeben werden und nicht als Bild?

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Wer sagt denn sowas ?????????

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Poste Text als Text und nicht als Bild, sonst wird deine Frage nicht beantwortet (Gründe hier).

Die Schreibregeln https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Da hast was verwechselt, das gilt für Leute die Fragen stellen und Kopien aus Büchern machen , aber nicht für Antwortgeber. Ich habe keine Frage gestellt ........sondern geantwortet.

Ist schon komisch , erst ein paar Tage hier und macht schon so ein Wind.

Wer bist Du eigentlich, ein Prof, Student oder was? Willst wichtig sein , oder??

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Wir weisen immer wieder daraufhin, dass Fragen und Antworten in Textform einzugeben sind. Fotos von Texten sind problematisch. Hier sind die wichtigsten Gründe weshalb:

Bei den Gründen. Und leuchtet eben auch ein.

Wie herzlich man hier empfangen wird. Ganz toll! Und was ist komisch daran, sich an Regeln zu halten? Für mich eine Selbstverständlichkeit. Für manch andere offensichtlich nicht.

Answer 5

Hallo Mirka,

Du hast gefragt wie man darauf kommt. Nun zunächst erstmal, indem man überhaupt davon ausgeht, dass es weitere Lösungen im Komplexen gibt. Dann muss man wissen, wie die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen funktioniert.

Stellt man sich zwei komplexe Zahlen als Vektoren in der Gauß'schen Ebene vor, so multipliziert man sie durch Addieren ihrer Winkel und Multiplizieren ihrer Beträge. Und wenn man eine Zahl wie \(z^3\) hat, so verdreifacht man den Winkel von \(z\) und nimmt den Betrag zur dritten Potenz.

Graphisch sieht das so aus:

https://www.desmos.com/calculator/btstwzcnla

Verschiebe den roten Punkt \(z\) mit der Maus derart, dass die Zahl \(z^3\) auf der \(1\) landet.

Ja - und wenn Du weißt, dass$$e^{i2\pi} = 1 $$ ist, so muss auch folgen:$$z^3 = 1 \\ \implies z = e^{\frac{i2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \frac{1}{2}\sqrt{3}$$und der Vollständigkeit halber gilt natürlich auch$$e^{i2\pi \cdot k} = 1 \quad k \in \mathbb{Z} \\ z^3=1\implies z = e^{\frac{i2\pi \cdot k}{3}} \quad k \in \mathbb{Z}$$und für \(k\in\{0,1,2\}\) purzeln dann alle drei Lösungen heraus.

Gruß Werner