Question

Warum ist x³ bijektiv?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Lösung nicht.

Die injektivität wird bewiesen dadurch

x_{1 =} x₂

_{Aber bei der Injektivität wird doch nur jedem Y-Wert höchstens 1 x-wert zugeordnet. Wieso also werden hier 2 verschiedene X-Werte einem Y-Wert zugeordnet?}

_{Wie man die Subjektivität beweist, verstehe ich}

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion \(\,f\colon D\to W\,\) heißt injektiv, wenn jedes Element der Wertemenge \(W\) höchstens 1-mal getroffen wird.

Zum Beweis der Injektivität nimmt man daher an, dass es 2 Elemente \(x,y\in D\) aus der Definitionsmenge \(D\) gibt, die dasselbe Ziel \(\,f(x)=f(y)\,\) treffen. Dann folgert man daraus, dass \(\,x=y\,\) gelten muss:

$$f(x)=f(y)\implies\cdots\implies x=y$$

Wenn dies der Fall ist, gibt es keine 2 verschiedenen Argumente \(x,y\in D\) die dasselbe Ziel treffen. Die Funktion ist daher injektiv.

Comments

Hey, danke für die Antwort. Was mich aber verwirrt, ist, warum werden zwei verschiedene Funktionen mithilfe eines Gleichheitszeichen gleichgesetzt, wenn sie doch nicht gleich sind - Damit meine ich f(x) = f(y) -

Wäre es nicht logischer es so zu formulieren?

x = f(x)

y = f(y)

-> f(x) =/ f(y)

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Es sind nicht zwei verschiedene Funktionen. Wir nehmen an, dass es einen Schützen \(x\) und einen Schützen \(y\) gibt, die beide dasselbe Ziel treffen:$$f(x)=f(y)$$Wenn daraus dann folgt, dass diese beiden Schützen \(x\) und \(y\) gleich sein müssen \(x=y\), gibt es höchstens einen Schützen, der das Ziel trifft.