Beweise dass die Funktion bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Es sei die Abbildung f : N → Z wie folgt definiert:

\( f(n)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2}, & \text { falls } n \text { gerade ist } \\ -\frac{n+1}{2}, & \text { falls } n \text { ungerade ist. }\end{array}\right. \)

Text erkannt:

\( f(n)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2}, & \text { falls } n \text { gerade ist } \\ -\frac{n+1}{2}, & \text { falls } n \text { ungerade ist. }\end{array}\right. \)

Beweisen Sie, dass f bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nur den Ansatz, dass sie bijektiv ist wenn sie surjektiv und injektiv ist, also wenn W(f)=B und jedem b maximal ein a zugeordnet werden kann.

Wie genau ich das machen muss weiß ich aber leider nicht.

Comments

Zu Z gehört die Null, die wird nicht getroffen. f ist nicht surjektiv.

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Ich nehme mal an, dass im Kontext der Aufgabe \(0\in\mathbb{N}\) gilt und damit \(f(0)=0\) schon getroffen wird. Dann ist f surjektiv.

Answer 1

Zur Injektivität, löse die Gleichung \(f(n) = f(m)\) über \(\mathbb{N}\). Tipp. Fallunterscheidung (1) \(n\) gerade, \(m\) gerade (2) \(n\) gerade, \(m\) ungerade (3) \(n\) ungerade, \(m\) gerade (4) \(n\) ungerade, \(m\) ungerade.

Zur Surjektivität, bestimme für jedes \(z\in \mathbb{Z}\) ein \(n\in \mathbb{N}\), so dass \(f(n) = z\) ist. Tipp. Fallunterschiedung je nach dem ob \(z\) negativ ist oder nicht.

Comments

Es hilft in beiden Fällen, mit einfachen Zahlenbeispielen anzufangen (konkrete Zahlen!).