Hallo Homelander,
die entscheidenden Ideen kann ich aus deinem schön sprachlich formulierten Beweis herauslesen; bei den Details bin ich nicht ganz glücklich:
1. Bei deinem Nachweis der Nichtleere von U ist mir nicht klar, ob dir klar ist, warum eine untere Schranke von M existiert. Du schreibst von einem vielleicht existierendem Infimum und davon "irgendeine untere Schranke" zu nehmen, aber benennst nach meiner Lesart kein zwingendes Argument, dass eine solche untere Schranke existiert. Dabei folgt diese Existenz einfach direkt daraus, dass M nach unten beschränkt ist.
2. Beim Nachweis, dass U nach oben beschränkt ist fehlt mir der zwingende Existenznachweis für eine obere Schranke. Hier geht in einem vollständig korrekten Beweis ein, dass M nichtleer ist, also ein Element \(m\in M\) existiert. Ein solches Element kann als Zeuge für den Existenznachweis dienen.
3. Warum ist nun \(m\in M\) obere Schranke von U? Hier fehlt mir ein wenig eine zusammenhängende schlüssig formulierte Begründung. Der Übergang zu Negationen ("kein Element von U kann größer als irgendein Element in M sein") erscheint mir die Sache zu verkomplizieren, ohne etwas zur formalen Begründung beizutragen. Ich würde hier einen Beweis so formulieren: Um nachzuweisen, dass \(m\) obere Schranke von \(U\) ist sei \(u\in U\) beliebig vorgegeben. Zeigen müssen wir: \(m\ge u\). Nach Definition von U ist u untere Schranke von M, so dass tatsächlich insbesondere wie gewünscht \(m\ge u\) gilt.
Dennoch wie gesagt: Die entscheidenden Ideen hast du drin.
Viele Grüße, Tobias
