zz: U besitzt sup in R

Question

Aufgabe:

zz: U besitzt sup in R.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Acfarale 2
b) \( z \) : sepll \( \in \mathcal{U} \) gell
c) \( \xi: M \) berilt das trininem suell

Bewris:
a) ist, ist U (die Menge aller unteren Schranken von M) ebenfalls nichtleer. Dies ist so, weil mindestens eine untere Schranke von M existiert (zum Beispiel das Infimum von M, falls es existiert, oder irgendeine andere untere Schranke).
- Da jede untere Schranke von M per Definition kleiner oder gleich jedem Element von M ist, bedeutet das, dass U nach oben beschränkt ist. Genauer gesagt, jedes Element \( m \in M \) ist eine obere Schranke von \( U \) (weil kein Element in \( U \) größer als irgendein Element in \( M \) sein kann)
- Nach Axiom 1.2.14 besitzt U also ein Supremum in R. Dieses Supremum nennen wir supU.

Reicht dies als Beweis?

Comments

Was ist U? Hellsehen können wir nicht.

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Ich tippe auf:

\(M\) ist eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von \(\mathbb{R}\) und \(U\) ist die Menge der unteren Schranken von \(M\).

Aber in der Tat sollte Homelander uns mitteilen, ob ich richtig liege.

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Tobits Vermutung stimmt, habe ich vergessen mit reinzuschreiben

Answer 1

Hallo Homelander,

die entscheidenden Ideen kann ich aus deinem schön sprachlich formulierten Beweis herauslesen; bei den Details bin ich nicht ganz glücklich:

1. Bei deinem Nachweis der Nichtleere von U ist mir nicht klar, ob dir klar ist, warum eine untere Schranke von M existiert. Du schreibst von einem vielleicht existierendem Infimum und davon "irgendeine untere Schranke" zu nehmen, aber benennst nach meiner Lesart kein zwingendes Argument, dass eine solche untere Schranke existiert. Dabei folgt diese Existenz einfach direkt daraus, dass M nach unten beschränkt ist.

2. Beim Nachweis, dass U nach oben beschränkt ist fehlt mir der zwingende Existenznachweis für eine obere Schranke. Hier geht in einem vollständig korrekten Beweis ein, dass M nichtleer ist, also ein Element \(m\in M\) existiert. Ein solches Element kann als Zeuge für den Existenznachweis dienen.

3. Warum ist nun \(m\in M\) obere Schranke von U? Hier fehlt mir ein wenig eine zusammenhängende schlüssig formulierte Begründung. Der Übergang zu Negationen ("kein Element von U kann größer als irgendein Element in M sein") erscheint mir die Sache zu verkomplizieren, ohne etwas zur formalen Begründung beizutragen. Ich würde hier einen Beweis so formulieren: Um nachzuweisen, dass \(m\) obere Schranke von \(U\) ist sei \(u\in U\) beliebig vorgegeben. Zeigen müssen wir: \(m\ge u\). Nach Definition von U ist u untere Schranke von M, so dass tatsächlich insbesondere wie gewünscht \(m\ge u\) gilt.

Dennoch wie gesagt: Die entscheidenden Ideen hast du drin.

Viele Grüße, Tobias