Beweise, dass Abbildung bijektiv ist R² -> R²

Question

Aufgabe: Beweise, dass f bijektiv.

f: ℝ² → ℝ²

\( \begin{pmatrix} x₁ \\ x₂ \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x₁ \\ x₂ \end{pmatrix} \)

Answer 1

\( \begin{pmatrix} x₁ \\ x₂ \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x₁ \\ x₂ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x₁ +2x₂\\ x₂ \end{pmatrix} \)

injektiv:

Sei  \( f(\begin{pmatrix} x₁ \\ x₂ \end{pmatrix})  =  f(\begin{pmatrix} y₁ \\ y₂ \end{pmatrix})\)

==>  \( \begin{pmatrix} x₁ +2x₂\\ x₂ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y₁ +yx₂\\ y₂ \end{pmatrix} \)

also insbesonder x2 = y2 , das bei x1+x2 = y1+y2 einsetzen und es gilt auch x1 = y1 .

==> f injektiv.

Entsprechend. Bestimme zu vorgegebenem (y1,y2) die Werte für (x1,x2).

Zeige: Das geht immer, also f surjektiv.