Im Prinzip hast du es mit einem quadratischen Ausdruck unter einer Wurzel im Nenner zu tun.
Da ist die quadratische Ergänzung oft eine gute Strategie:
\(\int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{x-x^2}} \stackrel{x^2-x = \left(x-\frac 12\right)^2 - \frac 14}{=} \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{\frac 14 - \left(x-\frac 12\right)^2}}\)
\(= 2 \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{1- \left(2x-1\right)^2}}\)
\(= \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {d(2x-1)}{\sqrt{1- \left(2x-1\right)^2}}\)
\(= \left. \arcsin(2x-1)\right|_{\frac 14}^{\frac 34} = \frac{\pi}3\)