Hi, Wie rechne ich hier das Integral aus?

Question

Hallo, wie rechne ich hier das Integral aus?
$$ \int \limits_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}(\sqrt{x}\sqrt{1-x})^{-1}dx $$

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

\( \int \limits_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}(\sqrt{x}\sqrt{1-x})^{-1}dx \)

Substitution u=√x . Dann ist es mit dx = 2u du ohne Grenzen erst mal

\( \int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}  2udu \)

Und das erinnert doch schon sehr an arcsin.

Answer 2

Im Prinzip hast du es mit einem quadratischen Ausdruck unter einer Wurzel im Nenner zu tun.

Da ist die quadratische Ergänzung oft eine gute Strategie:

\(\int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{x-x^2}} \stackrel{x^2-x = \left(x-\frac 12\right)^2 - \frac 14}{=} \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{\frac 14 - \left(x-\frac 12\right)^2}}\)

\(= 2 \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {dx}{\sqrt{1- \left(2x-1\right)^2}}\)

\(= \int_{\frac 14}^{\frac 34}\frac {d(2x-1)}{\sqrt{1- \left(2x-1\right)^2}}\)

\(= \left. \arcsin(2x-1)\right|_{\frac 14}^{\frac 34} = \frac{\pi}3\)