Hi, wie kann ich hier anfangen? (Integral)

Question

Hi, wie kann ich hier anfangen? Der cos^-2 bereitet mir Probleme

$$ \int \limits_{0}^{1}cos^{-2}(ax)dx,\ \ a \in (0,\ \frac{π}{2}) $$ 

Answer 1

Aloha :)

Wenn man es nicht kennt, ist das ein unangenehmes Ding. Forme wie folgt um:$$I=\int\frac{1}{\cos^2x}\,dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\,dx=\int\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}\,dx$$Mit der Quotietenregel im Hinterkopf erkennst du im Integranden nun eine Ableitung:$$I=\int\frac{d}{dx}\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)\,dx=\frac{\sin x}{\cos x}+\text{const}=\tan(x)+\text{const}$$

Das gesuchte Integral lautet also:$$I=\int\frac{1}{\cos^2(ax)}\,dx=\frac1a\tan(ax)+\text{const}$$Jetzt brauchst du nur noch die Grenzen einzusetzen.

Answer 2

Das ist ein Standardintegral: \(\int\!\frac{1}{\cos^2(x)}\,\mathrm{d}x=\tan(x)\).

Beweisidee: Schreibe den Zähler als \(\sin^2(x)+\cos^2(x)\) (trig. Pythagoras) und zerlege den Bruch dann in \(1+\sin(x)\frac{\sin(x)}{cos^2(x)}\). Auf den zweiten Summanden wendest du dann partielle Integration an.

Comments

Hi, was mache ich jetzt mit diesem "Ding" 
$$ \int \limits_{0}^{1}-cos(ax)(\frac{sin(ax)}{cos^2(ax)})` $$
Gibt's irgendeinen einfach Trick das abzuleiten oder hab ich irgendwas unnötig kompliziert gemacht?

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Leite mit der Quotientenregel ab.